下降数について

扇数は整数から、浮動小数点へ拡張して考える事ができます。

通常の扇数(repunit)は桁数が増えると、上位の桁に向かって上昇する方向に値が増えます。

\(1\), \(11\), \(111\), \(111\ldots1\)

下記の式は、上昇(Ascending)方向に広がる扇数を返す(上昇)扇関数\(A(x)\)となり、常に整数の値となります。

10進数の扇数を返す扇関数の式:
\(A(x)=\displaystyle \sum_{k=0}^{x-1}10^{k}\)

n進数の扇数を返す扇関数の式:
\(A(x, base = n)=\displaystyle \sum_{k=0}^{x-1}n^{k}\)

10進数の下降・扇数を返す下降・扇関数の式:
\(D(x)=\displaystyle \sum_{k=0}^{x-1}10^{-k}\)

n進数の下降・扇数を返す下降・扇関数の式:
\(D(x, base = n)=\displaystyle \sum_{k=0}^{x-1}n^{-k}\)

浮動小数点演算では、仮数の桁に収まらない値は、最下位の値が(利用されるライブラリやハードの設定に従って)切り捨てや丸めなどの処理が行われるため、下位の値の精度が下がります。
アンドールシステムサポートのYouTubeちゃんねる「電脳寺子屋」の動画の中で取り上げる予定ですが、浮動小数点の演算では、演算を行う順序によって、求める事ができる値の精度が変化します。
複数の値を足し合わせる場合には、絶対値の小さな値どうしを順番に足し合わせたものの方が、絶対値の大きな値と小さな値を足し合わせたものよりも、精度が高い値となります。

扇関数\(A()\)に対し、\(n\)進数の底の値に、マイナス\(x-1\)の累乗の値を掛けて得られる値を返す関数を\(A'()\)関数とした場合、このA’関数の返す値は、下降扇関数\(D()\)で得られる値と一致します。

下降・扇関数が他の扇数の体系に及ぼす影響について

扇関数\(A()\)を利用して定義された関数は、扇関数\(A()\)を下降・扇関数\(A'()\)に置き換える事で、小数点の方向に桁が拡大する関数を定義する事ができます。

櫛歯の本数を\(x\)とし、隙間を\(s\)とする櫛数を返す櫛関数\(C()\)は下記の式で定義する事ができます。

10進数の櫛関数を求める式：
\(C(x, s) = A(x, base = 10^{s + 1})\)

n進数の櫛関数を求める式：
\(C(x, s, base = n) = A(x, base = n^{s + 1})\)

櫛数を返す関数\(C()\)の式を構成する、扇関数\(A()\)を、下降・扇関数\(A'()\)に置き換える事で、小数点方向に桁が拡大する。下降・櫛数を返す関数\(C'()\)を作る事ができます。

櫛歯の本数を\(x\)とし、隙間を\(s\)とする櫛数を返す下降・櫛関数\(C'()\)は下記の式で定義する事ができます。

10進数の下降・櫛関数を求める式：
\(C'(x, s) = A'(x, base = 10^{s + 1})\)

n進数の下降・櫛関数を求める式：
\(C'(x, s, base = n) = A'(x, base = n^{s + 1})\)

同じ進数で同じ桁数の扇数を自乗して得られる値の事を完成・金字塔数と呼ぶ事にしました。

10進数の完成・金字塔数を求める式:

\( P(x) = A(x) ^2 \)

n進数の完成・金字塔数を求める式:

\( P(x, base = n) = A(x, base = n) ^2 \)

完成・金字塔数を返す関数\(P()\)の式を構成する、扇関数\(A()\)を、下降・扇関数\(D()\)に置き換える事で、小数点方向に桁が拡大する。下降・完成・金字塔数\(P'()\)を返す関数を作る事ができます。

10進数の下降・完成・金字塔数を求める式:

\(P'(x) = P(x) \times 10^{(x \times 2) -2}\) \(= A'(x, base = n)^2\)

n進数の下降・完成・金字塔数を求める式:

\(P'(x, base = n) = P(x, base = n) \times n^{(x \times 2) -2}\) \(= A'(x, base = n)^2\)

扇階段数の最上位から最下位までの桁値を入れ替えた値を逆扇階段数と呼び、この値を返す関数\(R()\)を逆扇階段関数と呼ぶ事にします。

扇階段数を返す関数\(S()\)の式を構成する、扇関数\(A()\)を、下降・扇関数\(A'()\)に置き換える事で、小数点方向に桁が拡大する。下降・扇階段数を返す関数\(S'()\)を作る事ができます。

10進数の場合には下記の式が成り立ちます

\(S'(x)=\displaystyle \sum_{k=1}^{x}A'(k)\)

n進数の場合には下記の式が成り立ちます

\(S'(x, base = n)=\displaystyle \sum_{k=1}^{x}A'(k, n)\)

扇数では、桁数に関係なく、金字塔数では、n進数でn-1桁までのでは最上位の桁から最下位までの桁を入れ替えても値は変わりませんが、 扇階段数では進数でn-1桁までのでは最上位の桁から最下位までの桁を入れ替えた場合、値が変わってしまいます。
\(0\)から\(x\)までの、下降・扇数関数の総和で得られる下降・扇階段数では、連続性が保たれる\(x \lt n\)桁までの範囲では、整数の桁に含まれる値が最大となり、小数点以下の桁は、最下位の桁に近づくにつれて、各桁に入る値は減少して行きます。 そのため、逆扇階段数に対し、桁合わせを行った値と一致する事になります。

逆扇階段数を返す関数\(R()\)の式を構成する、扇関数\(A()\)を、下降・扇関数\(A'()\)に置き換え、扇階段関数\(S()\)を、下降・扇階段関数\(S'()\)に置き換える事で、小数点方向に桁が拡大する。下降・逆扇階段数を返す関数\(R'()\)を作る事ができます。

10進数の場合には下記の式が成り立ちます

\(R'(x)= (x+1) \times A'(x)-S'(x) \)

n進数の場合には下記の式が成り立ちます

\(R'(x, base = n)= (x+1) \times A'(x, n)-S'(x, n) \)

扇数では、桁数に関係なく、金字塔数では、\(n\)進数では、\(x \lt n\)までは最上位の桁から最下位までの桁を入れ替えても値は変わりませんが、 逆扇階段数では\(n\)進数で\(1 \lt x \lt n\)までの範囲では最上位の桁から最下位までの桁を入れ替えた場合、値が変わってしまいます。
\(n\)進数で\(1 \lt x \lt n\)までの範囲で、下降・逆扇数関数では、小数点以下の、最下位の桁に入る値が最大となり、整数の桁に含まれる値は\(1\)となります。 そのため、扇階段数に対し、桁合わせを行った値と一致する事になります。