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扇数体系の図解

扇数体系の基本概念 / 数値を2次元平面上の図形として取り扱う長所について / 図形としての操作

図解 : 扇関数 A() / 扇階段関数 S() / 逆扇階段関数 R() / 完成・金字塔関数 P() / 可変頂上幅・金字塔関数 V() / 可変踏板幅・金字塔関数 W() / 櫛関数 C()

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W'() / 下降・櫛関数 C'()

扇数について
扇階段数について
金字塔数について
櫛数について
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図解
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扇数体系の基本概念

扇数体系の数は、nの累乗の値に対して、簡単な数式で表す事ができる一定の係数を掛け合わせて積算する事で得られる数の事を扇数体系の数と呼ぶ事にします。
この数を返す関数の事を、扇数体系の関数と呼ぶ事にします。

扇数体系の関数と呼ぶものの具体的な条件：

$f(x,n)=\displaystyle \sum_{k=0}^{x-1}a_{k} \times n^{k}$

かつ

$a_{k}$ に対応する値を $k$ の値に合わせて単純な式で表すことができる。

この体系の数を、後説明する「n進数の数値折れ線棒グラフ」上に、この値をプロットした場合には、単純な2次元平面上の図形となります。
扇数体系の関数に対して、パラメータを変化させた際の図形の変化を重ねて表記し、どのように変化するのか表した図の事を扇数体系の概念図と呼ぶ事にします。

n進数の数値折れ線棒グラフについて

棒グラフ上で「1つの数値」は、数値に含まれる桁数に関係なく、「1つの長さ」として、1対1の関係で表現されます。
これに対して、

これに対して、扇数の体系では、「一つの数値」を構成する複数の桁に含まれる値を、それぞれ、高さを持った値捉えた上で、全体を「2次元平面上の図形」として取り扱います。
1つの数値を、「2次元平面上の図形」として扱える様に考案したグラフの事を「n進数の数値折れ線棒グラフ」や「折れ線棒グラフ」と呼ぶ事とします。

数値を2次元平面上の図形として取り扱う長所について

数値を2次元平面上の図形として取り扱う長所を下記に示します。

関数が返す値の変化を、図形の拡大として解釈する事で、その関数が返す値が、どの様に変化になるのかを予測する事が容易になります。
必要とする関数の式を求める際に、図形の形状の操作として式を導出する事が可能となります。

図形としての操作

図形を左に移動させる操作は、数値を進数の底を掛ける操作と一致し、右に移動させる操作は、数値を進数の底で割る操作と一致します。
図形を上に引き延ばす操作は、数値を掛ける操作と一致し、下に縮める操作は、数値を割る操作と一致します。
図形を重ね合わせる操作は、数値どうしの加算の操作と一致します。
図形を型抜きする操作は、数値どうしの引算の操作と一致します。

n進数の折れ線グラフについて

n進数で、上位の桁と下位の桁の重みの差はnです。n進数のx桁の整数の値は、nの0上からnのx-1乗の値に対し、それぞれ0からn-1までの範囲の整数の値を掛け合わせた値の合計値として考える事ができます。
つまり、1つの値を、x個の別の値からなる要素として考えれば、x個それぞれの高さを持つ棒グラフとして考える事ができます。
n進数の折れ線棒グラフは、複数の要素の値を比較できる棒グラフの特徴を基に、折れ線を追加する事で、隣り合う桁の値がどの様な比で変化するのかを、視覚的に掴むことができるように考案したグラフです。

数値折れ線棒グラフと通常の棒グラフとの比較

扇階段数 $S(3,n)$ で $n = 10$ の場合の例として、数値折れ線棒グラフと通常の棒グラフとの比較を下記に示します。

下記の図は、左から順に、通常の棒グラフによる表記、桁毎の棒グラフ、桁毎の棒グラフ(横方向を反転+折れ線棒グラフ)、(数値)折れ線棒グラフを並べたものです。
この4つのグラフでは、表記の仕方が異なるため、見かけが異なりますが、これは10進数で123という、全て同じ値を表現したグラフとなります。

通常の棒グラフによる表記について：

横軸に項目、縦軸にその項目が持つ、値の大きさを長さとして割り当てます。
この例の場合には、$x = 3$ という1つの項目に対して $y = 123$ という1つの長さが対応します。
- 数値を全体を1つの長さとして把握できます。
- 複数の要素を同時に、比較する用途に向いています。

桁毎の棒グラフによる表記について：

横軸を $n$ の累乗の値とし、横軸の項目に対応する係数の大きさを、縦軸の長さとして割り当てます。
この例では、10進数で $123$ は、 $n=10$ で $y = S(3,n)= 3 \times n^{0} + 2 \times n^{1} + 1 \times n^{2}$
となります。
従って、横軸には $n^{0}$ , $n^{1}$ , $n^{2}$ が割り当てられ、その係数である、$3$, $2$, $1$ を縦軸に割り当てる事になります。

この順番に作成した単純な、桁毎の棒グラフは、最下位の桁である $n^{0}$ の値が、グラフの一番左に並ぶため、
位置取り記数法で、10進数の値を表記した場合の桁の並びと、逆になり、関係が分かり辛いという問題があります。
このままでは、隣り合う桁の値(桁に対する係数の変化)の比率が分かり辛いという問題があります。

桁毎の棒グラフ(横方向を反転 +折れ線グラフ)による表記について：

桁毎の棒グラフによる表記の問題点を解消するために、横方向を反転し、比率を分かり易くするために折れ線グラフを追記したものです。
この例では、 $y = S(3,n)= 1 \times n^{2} + 2 \times n^{1} + 3 \times n^{0}$ の順となります。
従って、横軸には $n^{2}$ , $n^{1}$ , $n^{0}$ が割り当てられ、その係数である、$1$, $2$, $3$ を縦軸に割り当てる事になります。

位置取り記数法で左側が最上位、右側が最下位と並んでいる順番に棒グラフの並びを合わせる事ができます。
折れ線棒グラフを重ねる事により、隣り合う桁の値変化の比率が分かり易くしています。

数値折れ線棒グラフによる表記について：

(数値)折れ線棒グラフでは、隣合う桁の変化の比率をより分かり易くするために、格子状のグラフとしています。
この例では、$y = S(3,n)= (0 \times n^{3}) +1 \times n^{2} + 2 \times n^{1} + 3 \times n^{0}$をグラフとしたものです。
扇数体系の関数を図形の塊として見る事ができます。

nの累乗の目盛りを上側に表記する事で、下側の目盛には、任意のパラメータのを割り当てる事ができるようにしています。
縦の点線で、位置取り記数法で表記されている最上位の桁と最下位の桁の範囲を示しています。
$n^{0}$ と $n^{-1}$の間に小数点が入る位置を示す点を入れています。
この境界となる範囲の色を変えています。
係数が $0$ から $1$ の境界となる部分の色を変えています。
係数が $n-1$ から $n$ の境界となる部分の色を変えています。
もし、図形が $n$ 以上の高さまで到達している場合は、n進数に投射した際にに、桁上りが生じる事を意味します。

n進数の折れ線グラフの考え方 S(3,n)

自然数の値に対して0を掛けた値は常に0となり、自然数の値に対して0を加えた場合は、元の値から変化しません。
ゆえに、扇階段数に対して、下記の式が成り立ちます。
$y = S(3,n)$
$=$ $1
\times n^{2} + 2 \times n^{1} + 3 \times n^{0}$
$= (0 \times n^{3}) + 1 \times n^{2} + 2 \times n^{1} + 3 \times n^{0} + (0 \times n^{-1})
$
つまり、 $(0 \times n^{3}) +$ と $ + (0 \times n^{-1}) $ を示すかどうかにより、下記に示すように4通りの表記の方法が考えられます。
数値折れ線棒グラフ上で、係数が$0$ から $1$
の色分けされている境界となる部分を通過する点線で示した部分に対して、この部分を表記するかどうかの有無により、見かけが変化しますが、この4つは、全て同じ値を示したものとなります。

n進数の折れ線グラフ S(3,n)のバリエーション

自然数の値に対して0を掛けた値は常に0となり、自然数の値に対して0を加えた場合は、元の値から変化しません。
ゆえに、逆扇階段数に対して下記の式が成り立ちます。
$y = R(3,n)$
$=$ $3
\times n^{2} + 2 \times n^{1} + 1 \times n^{0}$
$= (0 \times n^{3}) + 3 \times n^{2} + 2 \times n^{1} + 1 \times n^{0} + (0 \times n^{-1})
$
つまり、 $(0 \times n^{3}) +$ と $ + (0 \times n^{-1}) $ を示すかどうかにより、下記に示すように4通りの表記の方法が考えられます。
数値折れ線棒グラフ上で、係数が$0$ から $1$
の色分けされている境界となる部分を通過する点線で示した部分に対して、この部分を表記するかどうかの有無により、見かけが変化しますが、この4つは、全て同じ値を示したものとなります。

n進数の折れ線グラフ R(3,n)のバリエーション

自然数の値に対して0を掛けた値は常に0となり、自然数の値に対して0を加えた場合は、元の値から変化しません。
ゆえに、扇数について、下記の式が成り立ちます。
$y = A(3,n)$
$=$ $1
\times n^{2} + 1 \times n^{1} + 1 \times n^{0}$
$= (0 \times n^{3}) + 1 \times n^{2} + 1 \times n^{1} + 1 \times n^{0} + (0 \times n^{-1})
$
つまり、 $(0 \times n^{3}) +$ と $ + (0 \times n^{-1}) $ を示すかどうかにより、下記に示すように4通りの表記の方法が考えられます。
数値折れ線棒グラフ上で、係数が$0$ から $1$
の色分けされている境界となる部分を通過する点線で示した部分に対して、この部分を表記するかどうかの有無により、見かけが変化しますが、この4つは、全て同じ値を示したものとなります。

n進数の折れ線グラフ A(3,n)のバリエーション

自然数の値に対して0を掛けた値は常に0となり、自然数の値に対して0を加えた場合は、元の値から変化しません。
ゆえに、完成・金字塔数に対して、下記の式が成り立ちます。
$y = P(2,n)$
$=$ $1
\times n^{2} + 2 \times n^{1} + 1 \times n^{0}$
$= (0 \times n^{3}) + 1 \times n^{2} + 2 \times n^{1} + 1 \times n^{0} + (0 \times n^{-1})
$
つまり、 $(0 \times n^{3}) +$ と $ + (0 \times n^{-1}) $ を示すかどうかにより、下記に示すように4通りの表記の方法が考えられます。
数値折れ線棒グラフ上で、係数が$0$ から $1$
の色分けされている境界となる部分を通過する点線で示した部分に対して、この部分を表記するかどうかの有無により、見かけが変化しますが、この4つは、全て同じ値を示したものとなります。

n進数の折れ線グラフ P(2,n)のバリエーション

10進数で2以上の値は、どの進数として観測するのかによって、折れ線棒グラフ上での数値の形状が変化します。
n進数でn-1までの値をn進数よりも上の進数として観測した結果は、n進数から観測した結果と同じ結果になります。
そのため、0と1の値だけは、どの進数でも折れ線グラフ上では同じ形状となります。
つまり、観測の対象とする値に対して、観測者がどの進数の値として、解釈するのかによって、値の見え方が大きく変化する場合があります。

10進数で0～21までの値を、2進数、10進数、16進数として観測した場合の折れ線グラフの例：

$y=$ 0 / 1 / 2 / 3 / 4 / 5 / 6 / 7 / 8 / 9 / 10 / 11 / 12 / 13 / 14 / 15 / 16 / 17 / 18 / 19 / 20 / 21

$y = 0$ : 10進数の0は、どの進数からも、0として観測できます。

n進数の折れ線グラフ0

$y = 1$ : 10進数の1は、どの進数からも、1として観測できます。

n進数の折れ線グラフ1

$y = 2$ : 10進数の2は、3進数以上の進数から、2として観測できます。つまり、16進数からも2として見えます。

n進数の折れ線グラフ2

$y = 3$ : 10進数の3は、4進数以上の進数から、3として観測できます。つまり、16進数からも3として見えます。

n進数の折れ線グラフ3

$y = 4$ : 10進数の4は、5進数以上の進数から、4として観測できます。つまり、16進数からも4として見えます。

n進数の折れ線グラフ4

$y = 5$ : 10進数の5は、6進数以上の進数から、5として観測できます。つまり、16進数からも5として見えます。

n進数の折れ線グラフ5

$y = 6$ : 10進数の6は、7進数以上の進数から、6として観測できます。つまり、16進数からも6として見えます。

n進数の折れ線グラフ6

$y = 7$ : 10進数の7は、8進数以上の進数から、7として観測できます。つまり、16進数からも7として見えます。

n進数の折れ線グラフ7

$y = 8$ : 10進数の8は、9進数以上の進数から、8として観測できます。つまり、16進数からも8として見えます。

n進数の折れ線グラフ8

$y = 9$ : 10進数の9は、10進数以上の進数から、9として観測できます。つまり、16進数からも9として見えます。

n進数の折れ線グラフ9

$y = 10$ : 10進数でも桁上げが生じているため、2進数、10進数、16進数から見える値が全て異なります。

n進数の折れ線グラフ10

$y = 11$ : 10進数でも桁上げが生じているため、2進数、10進数、16進数から見える値が全て異なります。

n進数の折れ線グラフ11

$y = 12$ : 10進数でも桁上げが生じているため、2進数、10進数、16進数から見える値が全て異なります。

n進数の折れ線グラフ12

$y = 13$ : 10進数でも桁上げが生じているため、2進数、10進数、16進数から見える値が全て異なります。

n進数の折れ線グラフ13

$y = 14$ : 10進数でも桁上げが生じているため、2進数、10進数、16進数から見える値が全て異なります。

n進数の折れ線グラフ14

$y = 15$ : 10進数でも桁上げが生じているため、2進数、10進数、16進数から見える値が全て異なります。

n進数の折れ線グラフ15

$y = 16$ : 10進数でも桁上げが生じているため、2進数、10進数、16進数から見える値が全て異なります。

n進数の折れ線グラフ16

$y = 17$ : 10進数でも桁上げが生じているため、2進数、10進数、16進数から見える値が全て異なります。

n進数の折れ線グラフ17

$y = 18$ : 10進数でも桁上げが生じているため、2進数、10進数、16進数から見える値が全て異なります。

n進数の折れ線グラフ18

$y = 19$ : 10進数でも桁上げが生じているため、2進数、10進数、16進数から見える値が全て異なります。

n進数の折れ線グラフ19

$y = 20$ : 10進数でも桁上げが生じているため、2進数、10進数、16進数から見える値が全て異なります。

n進数の折れ線グラフ20

$y = 21$ : 10進数でも桁上げが生じているため、2進数、10進数、16進数から見える値が全て異なります。

n進数の折れ線グラフ21

進数の違いを超えて、数値折れ線グラフの図形を変化させない関数の例

n進数上で、関数の引数としてnを入れた場合に、n進数の数値折れ線グラフ上で、一定の値の範囲で、形状が変化しない関数を考える事ができます。

n進数の折れ線グラフ A(2)

扇関数 $A(x,n)=\displaystyle \sum_{k=0}^{x-1}n^{k}$は、$n$の値が変化することにより、10進数として観測した値である $y$
は変化しますが、n進数の折れ線グラフ上の形状は、どの進数であっても変化しません。

扇関数以外の他の扇数体系の関数の場合は、進数の底を$n$とし、$k$を桁の位置とした場合、$n^{k}$ の累乗であるに対し、$a_{k}$が掛ける係数の値をした場合、 $0 \leqq a_{k}
\lt
n$

扇数体系の関数が返す数値の図解

扇数体系の関数が返す数値の図解一覧：
扇関数 A() / 櫛関数 C() / 完成・金字塔関数 P() / 扇階段関数 S() / 逆扇階段関数 R()
下降・扇関数 A'() / 下降・櫛関数 C'() / 下降・完成・金字塔関数 P'() / 下降・扇階段関数
S'()の概念図 / 下降・逆扇階段関数 R'()の概念図

扇関数 A()の概念図

$扇関数 $A(x,n)$の概念図$

扇関数 $A(x,n)$の概念図の概要：

$x$を桁数、$n$進数の底とする扇数を返す扇関数$A(x, n)$の値の概念図です。

扇数は、1の連続で表される数値です。
n進数の扇数では、各桁の値はn進数上で、全て1となり、$1$桁目から$x$桁目の値まで全て$1$となります。
扇数では、$x$の値がどれだけ大きくなっても、値の連続性が常に保たれます。

扇数を返す扇関数$A(x, n)$の値は、下記に示す特徴があります。

$n$進数上で、$x \leqq 0$の場合：

値は$0$となる。

$n$進数上で、$ x > 0$の場合：

最上位の桁は、$x$桁目の位置にあり、この桁に含まれる値は$1$となる。
最下位の桁は、$1$桁目の位置にあり、この桁に含まれる値は$1$となる。
最上位の桁から最下位の桁まで、桁に含まれる値は全て$1$となる。

扇数について

扇関数 $A(x,n)$に対して、$x $ を0から12まで変化させた場合の数値折れ線棒グラフ：

$x = 0$ / $x = 1$ / $x = 2$ / $x = 3$ / $x = 4$ / $x = 5$ / $x = 6$ / $x = 7$ / $x = 8$ / $x = 9$ / $x = 10$ / $x = 11$ / $x = 12$

扇関数 A(0)の折れ線棒グラフ

扇関数 A(1)の折れ線棒グラフ

扇関数 A(2)の折れ線棒グラフ

扇関数 A(3)の折れ線棒グラフ

扇関数 A(4)の折れ線棒グラフ

扇関数 A(5)の折れ線棒グラフ

扇関数 A(6)の折れ線棒グラフ

扇関数 A(7)の折れ線棒グラフ

扇関数 A(8)の折れ線棒グラフ

扇関数 A(9)の折れ線棒グラフ

扇関数 A(10)の折れ線棒グラフ

扇関数 A(11)の折れ線棒グラフ

扇関数 A(12)の折れ線棒グラフ

扇関数 $A(x,n)$について：

扇関数 $A(x,n)$は、下記に示す、$n$を累乗した数列の合計として考える事ができます。

$A(x,n)=n^{0}+n^{1}+n^{2}+ \cdots + n^{x-2}+n^{x-1}$

総和の記法を利用すると下記の様に表記する事ができます。

$A(x,n)=\displaystyle \sum_{k=0}^{x-1}n^{k}$

そして、この関数は、下記の式としても表す事ができます。

$f(x,n)=\displaystyle \sum_{k=0}^{x-1}a_{k} \times n^{k}$ で、$a_{k} = 1$の場合

この式をそのまま、Pythonのコードにすると下記のようになります。

def A(x, n = 10):
	y = 0
	for k in range(x):
		y += n**k
	return y

また、上記の式は、等比数列の総和なので、公式を利用すると下記の式として書き換えることができます。

$x \geqq 0$ の場合：

$A(x,n)=\displaystyle \frac{n^{x}-1}{n-1}$

$0 \lt x$ の場合：

$A(x,n)=0$

この式をそのまま、Pythonのコードにすると下記のようになります。

def A(x, n = 10):
	if(x >= 0):
		return ((n**x)-1)//(n-1)
	return 0

扇階段関数 $S(x,n)$の概念図

扇階段関数 S() S()の概念図

扇階段関数 S()の概念図の概要細：

扇階段数とは、$1$桁から$x$桁までの扇数の総和の値です。

扇階段数を返す扇階段関数$S(x, n)$の値は、下記に示す特徴があります。

$n$進数上で、$x \leqq 0$の場合：

値は$0$となる。

$n$進数上で、$(n-1) > x > 0$の場合：

最上位の桁は、$x$桁目の位置にあり、この桁に含まれる値は$1$となる。
最下位の桁は、$1$桁目の位置にあり、この桁に含まれる値は$x$となる。
最上位の桁から最下位の桁まで、桁に含まれる値が、連続的に変化する。

$n$進数上で、$n \geqq x $の場合：

桁上りが生じる為、連続性が崩壊します。

扇階段数について

扇階段関数 $S(x,n)$に対して、$x$ を0から12まで変化させた場合の数値折れ線棒グラフ：

$x = 0$ / $x = 1$ / $x = 2$ / $x = 3$ / $x = 4$ / $x = 5$ / $x = 6$ / $x = 7$ / $x = 8$ / $x = 9$ / $x = 10$ / $x = 11$ / $x = 12$

扇階段関数 S(0)の折れ線棒グラフ

扇階段関数 S(1)の折れ線棒グラフ

扇階段関数 S(2)の折れ線棒グラフ

扇階段関数 S(3)の折れ線棒グラフ

扇階段関数 S(4)の折れ線棒グラフ

扇階段関数 S(6)の折れ線棒グラフ

扇階段関数 S(7)の折れ線棒グラフ

扇階段関数 S(8)の折れ線棒グラフ

扇階段関数 S(9)の折れ線棒グラフ

扇階段関数 S(10)の折れ線棒グラフ

扇階段関数 S(11)の折れ線棒グラフ

扇階段関数 S(12)の折れ線棒グラフ

扇階段関数 $S(x,n)$について

扇階段関数 $S(x,n)$は、下記に示す、$n$を累乗した値に、対し係数を掛けた、数列の合計として考える事ができます。

$S(x,n)=(x-0) \times n^{0} + (x-1) \times n^{1} + (x-2) \times n^{2}+ \cdots + 2 \times n^{x-2} + 1 \times
n^{x-1}$

総和の記法を利用すると下記の様に表記する事ができます。

$S(x,n)=\displaystyle \sum_{k=0}^{x-1}(x-k) \times n^{k}$

そして、この関数は、下記の式として表す事ができます。

$f(x,n)=\displaystyle \sum_{k=0}^{x-1}a_{k} \times n^{k}$ で、$a_{k} = (x-k)$の場合

この式をそのまま、Pythonのコードにすると下記のようになります。

def S(x, n = 10):
	y = 0
	for  k in range(0, x):
		y += (x-k) * (n**k)
	return y

また、上記の式は、下記の式として直すこともできます。

$x \geqq 0$ の場合：

$S(x,n)=\displaystyle \frac
{n^{x+1}-n-(x \times (n-1))}
{(n-1)^2}
$

$0 \lt x$ の場合：

$S(x,n)=0$

この式をそのまま、Pythonのコードにすると下記のようになります。

def S(x, n = 10):
	if(x >= 0):
		retunr ((n**(x+1))-n-(x*(n-1)))//((n-1)**2)
	return 0

逆扇階段関数 R()の概念図

逆扇階段関数 $R(x,n)$の概念図の概要：

逆扇階段数とは、$x$桁の扇数の値を$x+1$倍した値から、$x$桁の扇階段数の値を引く事で求まる値です。

逆扇階段数を返す逆扇階段関数$R(x, n)$の値は、下記に示す特徴があります。

$n$進数上で、$x \leqq 0$の場合：

値は$0$となる。

$n$進数上で、$(n-1) > x > 0$の場合：

最上位の桁は、$x$桁目の位置にあり、この桁に含まれる値は$x$となる。
最下位の桁は、$1$桁目の位置にあり、この桁に含まれる値は$1$となる。
最上位の桁から最下位の桁まで、桁に含まれる値が、連続的に変化する。

$n$進数上で、$n \geqq x $の場合：

桁上りが生じる為、連続性が崩壊します。

扇階段数について

逆扇階段数 $R(x,n)$ を0から12まで変化させた場合の数値折れ線棒グラフ：

$x = 0$ / $x = 1$ / $x = 2$ / $x = 3$ / $x = 4$ / $x = 5$ / $x = 6$ / $x = 7$ / $x = 8$ / $x = 9$ / $x = 10$ / $x = 11$ / $x = 12$

扇階段関数 R(0)の折れ線棒グラフ

扇階段関数 R(1)の折れ線棒グラフ

扇階段関数 R(2)の折れ線棒グラフ

扇階段関数 R(3)の折れ線棒グラフ

扇階段関数 R(4)の折れ線棒グラフ

扇階段関数 R(6)の折れ線棒グラフ

扇階段関数 R(7)の折れ線棒グラフ

扇階段関数 R(8)の折れ線棒グラフ

扇階段関数 R(9)の折れ線棒グラフ

扇階段関数 R(10)の折れ線棒グラフ

扇階段関数 R(11)の折れ線棒グラフ

扇階段関数 R(12)の折れ線棒グラフ

逆扇階段関数 $R(x,n)$について

逆扇階段関数 $R(x,n)$は、下記に示す、$n$を累乗した値に、対し係数を掛けた、数列の合計として考える事ができます。

$R(x,n)= 1 \times n^{0} + 2 \times n^{1} + 3 \times n^{2}+ \cdots + (x-1) \times n^{x-2} + (x-0) \times
n^{x-1}$

総和の記法を利用すると下記の様に表記する事ができます。

$R(x,n)=\displaystyle \sum_{k=0}^{x-1}(k+1) \times n^{k}$

そして、この関数は、下記の式として表す事ができます。

$f(x,n)=\displaystyle \sum_{k=0}^{x-1}a_{k} \times n^{k}$ で、$a_{k} = (k+1)$の場合

def R(x, n  = 10):
	y = 0
	for k in range(x):
		y += (k+1) * (n**k)
	return y

また、上記の式は、下記の式として直すこともできます。

$x \geqq 0$ の場合：

$R(x,n) = \displaystyle \frac
{(x+1) \times n^{x} -1}
{n-1}
-\displaystyle \frac
{n^{x+1} -n -x \times (n-1)}
{(n-1)^2}
$

$0 \lt x$ の場合：

$R(x,n)=0$

この式をそのまま、Pythonのコードにすると下記のようになります。

def R(x, n = 10):
	if(x >= 0):
		return ((x+1) * ((n**x) - 1) // (n-1)) - ((n**(x+1) -n - (x * (n-1))) // (n-1)**2)
	return 0

完成・金字塔関数 P()の概念図

完成・金字塔関数 $P(x,n)$の概念図の概要：

完成・金字塔数とは、n進数の$x$桁の扇数の値を自乗して得られる値です。

完成・金字塔数を返す完成・金字塔関数$P(x, n)$の値は、下記に示す特徴があります。

$n$進数上で、$(n-1) > x$までの値の場合には、最上位の桁と最下位の桁の値は$1$となり、$x$桁目の中央の桁が$x$の値となるように、各桁の値は連続的に変化します。
$n$進数上で、$n \geqq x$の値の場合には、桁上りが生じる為、連続性が崩壊しますが、周期性を持つ特殊なパターンとなります。

位取り記数法で進数の底を10とする、10進数の場合、$n =
10$となりますので、$x$が9以下の値の場合には、連続性が保たれ、$x$が10以上の値の場合には、桁上りが生じる事により、連続性が崩壊しますが、周期性を持つ特殊なパターンとなります。

金字塔数について

完成・金字塔関数 $P(x,n)$ を0から12まで変化させた場合の数値折れ線棒グラフ：

$x = 0$ / $x = 1$ / $x = 2$ / $x = 3$ / $x = 4$ / $x = 5$ / $x = 6$ / $x = 7$ / $x = 8$ / $x = 9$ / $x = 10$ / $x = 11$ / $x = 12$

完成・金字塔関数 P(0)の折れ線棒グラフ

完成・金字塔関数 P(1)の折れ線棒グラフ

完成・金字塔関数 P(2)の折れ線棒グラフ

完成・金字塔関数 P(3)の折れ線棒グラフ

完成・金字塔関数 P(4)の折れ線棒グラフ

完成・金字塔関数 P(5)の折れ線棒グラフ

完成・金字塔関数 P(6)の折れ線棒グラフ

完成・金字塔関数 P(7)の折れ線棒グラフ

完成・金字塔関数 P(8)の折れ線棒グラフ

完成・金字塔関数 P(9)の折れ線棒グラフ

完成・金字塔関数 P(10)の折れ線棒グラフ

完成・金字塔関数 P(11)の折れ線棒グラフ

完成・金字塔関数 P(12)の折れ線棒グラフ

可変頂上幅・金字塔関数 V()の概念図

可変頂上幅・金字塔関数 $V(x,v,n)$の概念図の概要：

可変頂上幅・金字塔数を返す可変頂上幅・金字塔関数$V(x,v, n)$の値は、下記に示す特徴があります。

$n$進数上で、$(n-1) >
x$までの値の場合には、最上位の桁と最下位の桁の値は$1$となり、中央の桁が$x$の値となるように、各桁の値は連続的に変化し、引数$v$の値の数だけ、中央の頂上となる値が連続します。
$n$進数上で、$n \geqq x$の値の場合には、桁上りが生じる為、連続性が崩壊します。

位取り記数法で進数の底を10とする、10進数の場合、$n =
10$となりますので、$x$が9以下の値の場合には、連続性が保たれ、$x$が10以上の値の場合には、桁上りが生じる事により、連続性が崩壊します。
金字塔数について

可変頂上幅・金字塔関数 $V(x,v,n)$ でパラメータを変化させた場合の数値折れ線棒グラフ：

$x = 1$: $v = 1$ / $v = 2$ / $v = 3$ / $v = 4$
$x = 2$: $v = 1$ / $v = 2$ / $v = 3$ / $v = 4$
$x = 3$: $v = 1$ / $v = 2$ / $v = 3$ / $v = 4$
$x = 4$: $v = 1$ / $v = 2$ / $v = 3$ / $v = 4$

可変頂上幅・金字塔関数 V(1,1)の折れ線棒グラフ

可変頂上幅・金字塔関数 V(1,2)の折れ線棒グラフ

可変頂上幅・金字塔関数 V(1,3)の折れ線棒グラフ

可変頂上幅・金字塔関数 V(1,4)の折れ線棒グラフ

可変頂上幅・金字塔関数 V(2,1)の折れ線棒グラフ

可変頂上幅・金字塔関数 V(2,2)の折れ線棒グラフ

可変頂上幅・金字塔関数 V(2,3)の折れ線棒グラフ

可変頂上幅・金字塔関数 V(2,4)の折れ線棒グラフ

可変頂上幅・金字塔関数 V(3,1)の折れ線棒グラフ

可変頂上幅・金字塔関数 V(3,2)の折れ線棒グラフ

可変頂上幅・金字塔関数 V(3,3)の折れ線棒グラフ

可変頂上幅・金字塔関数 V(3,4)の折れ線棒グラフ

可変頂上幅・金字塔関数 V(4,1)の折れ線棒グラフ

可変頂上幅・金字塔関数 V(4,2)の折れ線棒グラフ

可変頂上幅・金字塔関数 V(4,3)の折れ線棒グラフ

可変頂上幅・金字塔関数 V(4,4)の折れ線棒グラフ

可変踏板幅・金字塔関数 W()の概念図

可変踏板幅・金字塔関数 $W(x,w,n)$ の概念図の概要：

可変踏板幅・金字塔数を返す可変踏板幅・金字塔関数$W(x,w, n)$の値は、下記に示す特徴があります。

$n$進数上で、$(n-1) >
x$までの値の場合には、最上位の桁と最下位の桁の値は$1$となり、$x$桁目の中央の桁が$x$の値となるように、各桁の値は同じ値が$w$連続的に表れるように変化し、中央の桁が、頂上となる値となるように連続して変化します。
$n$進数上で、$n \geqq x$の値の場合には、桁上りが生じる為、連続性が崩壊します。

金字塔数について

可変踏板幅・金字塔関数 $W(x,w,n)$ で $x$ と $w$ のパラメータを変化させた数値折れ線棒グラフ：

$x = 1$: $w = 1$ / $w = 2$ / $w = 3$
$x = 2$: $w = 1$ / $w = 2$ / $w = 3$
$x = 3$: $w = 1$ / $w = 2$ / $w = 3$
$x = 4$: $w = 1$ / $w = 2$ / $w = 3$

可変踏板幅・金字塔関数 W(1,1)の折れ線棒グラフ

可変踏板幅・金字塔関数 W(1,2)の折れ線棒グラフ

可変踏板幅・金字塔関数 W(1,3)の折れ線棒グラフ

可変踏板幅・金字塔関数 W(2,1)の折れ線棒グラフ

可変踏板幅・金字塔関数 W(2,2)の折れ線棒グラフ

可変踏板幅・金字塔関数 W(2,3)の折れ線棒グラフ

可変踏板幅・金字塔関数 W(3,1)の折れ線棒グラフ

可変踏板幅・金字塔関数 W(2,2)の折れ線棒グラフ

可変踏板幅・金字塔関数 W(2,3)の折れ線棒グラフ

可変踏板幅・金字塔関数 W(4,1)の折れ線棒グラフ

可変踏板幅・金字塔関数 W(4,2)の折れ線棒グラフ

可変踏板幅・金字塔関数 W(4,3)の折れ線棒グラフ

櫛関数 C()の概念図

櫛関数 $C(x,s,n)$の概念図の概要：

櫛数は、1と0の連続で表される数値です。
n進数の櫛数では、$1$となる桁が$x$個となります。$s$は$1$の値となる桁の間に挟まる$0$の個数となります。
櫛数とは、$x$桁の$n^{s-1}$進数の扇数の値を、$n$進数として観測した値という事ができます。
櫛数について

櫛関数 $C(x,s,n)$ で $x$ と $s$ のパラメータを変化させた数値折れ線棒グラフ：

$x = 0$ : $s = 0$ / $s = 1$ / $s = 2$ / $s = 3$
$x = 1$ : $s = 0$ / $s = 1$ / $s = 2$ / $s = 3$
$x = 2$ : $s = 0$ / $s = 1$ / $s = 2$ / $s = 3$
$x = 3$ : $s = 0$ / $s = 1$ / $s = 2$ / $s = 3$

櫛関数 C(0,s)の折れ線棒グラフ

櫛関数 C(0,0)の折れ線棒グラフ

櫛関数 C(0,1)の折れ線棒グラフ

櫛関数 C(0,2)の折れ線棒グラフ

櫛関数 C(0,3)の折れ線棒グラフ

櫛関数 C(1,s)の折れ線棒グラフ

櫛関数 C(1,0)の折れ線棒グラフ

櫛関数 C(1,1)の折れ線棒グラフ

櫛関数 C(1,2)の折れ線棒グラフ

櫛関数 C(1,3)の折れ線棒グラフ

櫛関数 C(2,0)の折れ線棒グラフ

櫛関数 C(2,1)の折れ線棒グラフ

櫛関数 C(2,2)の折れ線棒グラフ

櫛関数 C(2,3)の折れ線棒グラフ

櫛関数 C(3,0)の折れ線棒グラフ

櫛関数 C(3,2)の折れ線棒グラフ

櫛関数 C(3,3)の折れ線棒グラフ

下降・扇関数 A'()の概念図

下降・扇関数 $A'(x,n)$の概念図の概要：

$x$を桁数、$n$進数の底とする扇数を返す扇関数$A'(x, n)$の値の概念図です。

下降・扇数は、1の連続で表される数値です。
n進数の扇数では、各桁の値はn進数上で、全て1となり、$1$桁目から$x$桁目の値まで全て$1$となります。
通常の扇数は、全て整数の値となり、$x$の値が大きくなると上位の桁に向かって値が延びますが、下降・扇数は、小数点以下の方向に桁が延びていきます。

下降・扇数では、$x$の値がどれだけ大きくなっても、値の連続性が常に保たれます。

扇数を返す下降・扇関数$A'(x, n)$の値は、下記に示す特徴があります。

$n$進数上で、$x \leqq 0$の場合：

値は$0$となる。

$n$進数上で、$x = 1$の場合：

値は$1$となる。

$n$進数上で、$ x > 1$の場合：

最上位の桁は、整数の$1$桁目の位置にあり、この桁に含まれる値は$1$となる。
最下位の桁は、小数点以下で、小数点の桁数で数えて$x-1$桁目の位置にあり、この桁に含まれる値は$1$となる。
最上位の桁から最下位の桁まで、桁に含まれる値は全て１となる。

下降数について扇数について

下降・扇階段関数 S'()の概念図

下降・扇階段関数 $S'(x,n)$の概念図の概要：

下降・完成・金字塔関数の中央付近から最下位の桁の値のパターンと一致する数値となります。

通常の扇階段数は、全て整数の値となり、$x$の値が大きくなると上位の桁に向かって値が延びますが、下降・扇階段数は、小数点以下の方向に桁が延びていきます。

下降数について扇階段数について

下降・逆扇階段関数 R'()の概念図

下降・逆扇階段関数 $R'(x,n)$の概念図の概要：

下降・完成・金字塔関数の最上位の桁から中央付近の桁の値のパターンと一致する数値となります。

通常の逆扇階段関数は、全て整数の値となり、$x$の値が大きくなると上位の桁に向かって値が延びますが、下降・逆扇階段関数は、小数点以下の方向に桁が延びていきます。

下降数について扇階段数について

下降・完成・金字塔関数 P'()の概念図

下降・完成・金字塔関数 $P'(x,n)$の概念図の概要：

同じ桁数の、下降・扇数$A'(x,n)$の自乗で得られる数値です。

通常の完成・金字塔数は、全て整数の値となり、$x$の値が大きくなると上位の桁に向かって値が延びますが、下降・完成・金字塔数は、小数点以下の方向に桁が延びていきます。

下降数について金字塔数について

下降・可変頂上幅・金字塔関数 V'()の概念図

可変頂上幅・金字塔関数 $V'(x,v,n)$の概念図の概要：

可変頂上幅・金字塔数を返す可変頂上幅・金字塔関数$V'(x,v, n)$の値は、下記に示す特徴があります。

$n$進数上で、$(n-1) >
x$までの値の場合には、最上位の桁と最下位の桁の値は$1$となり、中央の桁が$x$の値となるように、各桁の値は連続的に変化し、引数$v$の値の数だけ、中央の頂上となる値が連続します。
$n$進数上で、$n \geqq x$の値の場合には、桁上りが生じる為、連続性が崩壊します。

位取り記数法で進数の底を10とする、10進数の場合、$n =
10$となりますので、$x$が9以下の値の場合には、連続性が保たれ、$x$が10以上の値の場合には、桁上りが生じる事により、連続性が崩壊します。

通常の可変頂上幅・金字塔数は、全て整数の値となり、$x$の値が大きくなると上位の桁に向かって値が延びますが、下降・可変頂上幅・金字塔数は、小数点以下の方向に桁が延びていきます。

下降数について金字塔数について

下降・可変踏板幅・金字塔関数 W'()の概念図

下降・可変踏板幅・金字塔関数 $W'(x,w,n)$の概念図の概要：

下降・可変踏板幅・金字塔数を返す下降・可変踏板幅・金字塔関数$W'(x,w, n)$の値は、下記に示す特徴があります。

$n$進数上で、$(n-1) >
x$までの値の場合には、最上位の桁と最下位の桁の値は$1$となり、$x$桁目の中央の桁が$x$の値となるように、各桁の値は同じ値が$w$連続的に表れるように変化し、中央の桁が、頂上となる値となるように連続して変化します。
$n$進数上で、$n \geqq x$の値の場合には、桁上りが生じる為、連続性が崩壊します。

通常の可変踏板幅・金字塔数は、全て整数の値となり、$x$の値が大きくなると上位の桁に向かって値が延びますが、下降・可変踏板幅・金字塔数は、小数点以下の方向に桁が延びていきます。

下降数について金字塔数について

下降・櫛関数 C'()の概念図

下降・櫛関数 $C'(x,s,n)$の概念図の概要：

下降・櫛数は、1と0の連続で表される数値です。
n進数の下降・櫛数では、$1$となる桁が$x$個となります。$s$は$1$の値となる桁の間に挟まる$0$の個数となります。
下降・櫛数とは、$x$桁の$n^{s-1}$進数の下降・扇数の値を、$n$進数の下降・扇数の値として観測した値という事ができます。

通常の櫛数は、全て整数の値となり、$x$の値が大きくなると上位の桁に向かって値が延びますが、下降・櫛数は、小数点以下の方向に桁が延びていきます。

下降数について櫛数について

図解

扇数体系の図解

扇数体系の基本概念

n進数の数値折れ線棒グラフについて

数値を2次元平面上の図形として取り扱う長所について

図形としての操作

n進数の折れ線グラフについて

扇数体系の関数が返す数値の図解

扇関数 A()の概念図

扇階段関数 \(S(x,n)\)の概念図

逆扇階段関数 R()の概念図

完成・金字塔関数 P()の概念図

可変頂上幅・金字塔関数 V()の概念図

可変踏板幅・金字塔関数 W()の概念図

櫛関数 C()の概念図

下降・扇関数 A'()の概念図

下降・扇階段関数 S'()の概念図

下降・逆扇階段関数 R'()の概念図

下降・完成・金字塔関数 P'()の概念図

下降・可変頂上幅・金字塔関数 V'()の概念図

下降・可変踏板幅・金字塔関数 W'()の概念図

下降・櫛関数 C'()の概念図