扇数体系の図解
扇数体系の基本概念 /
数値を2次元平面上の図形として取り扱う長所について /
図形としての操作
図解 ：
扇関数 A() /
櫛関数 C() /
完成・金字塔関数 P() /
扇階段関数 S() /
逆扇階段関数 R()
下降・扇関数 A'() /
下降・櫛関数 C'() /
下降・完成・金字塔関数 P'() /
下降・扇階段関数 S'() /
下降・逆扇階段関数 R'()
扇数について
櫛数について
金字塔数について
扇階段数について
下降数について
図解
扇数体系の基本概念
位取り記数法で表される「一つの数値」を、一般的に「1次元上の長さ」として表現されますが、扇数の体系では、「一つの数値」を構成する複数の桁に含まれる値を、それぞれ、高さを持った値捉えた上で、全体を「2次元平面上の図形」として取り扱います。
数値を2次元平面上の図形として取り扱う長所について
数値を2次元平面上の図形として取り扱う長所を下記に示します。
- 関数が返す値の変化を、図形の拡大として解釈する事で、その関数が返す値が、どの様に変化になるのかを予測する事が容易になります。
- 必要とする関数の式を求める際に、図形の形状の操作として式を導出する事が可能となります。
図形としての操作
- 図形を左に移動させる操作は、数値を進数の底を掛ける操作と一致し、右に移動させる操作は、数値を進数の底で割る操作と一致します。
- 図形を上に引き延ばす操作は、数値を掛ける操作と一致し、下に縮める操作は、数値を割る操作と一致します。
- 図形を横に並べる操作は、数値どうしの加算の操作と一致します。
- 図形を型抜きする操作は、数値どうしの引算の操作と一致します。
扇数体系の関数が返す数値の図解
扇数体系の関数が返す数値の図解一覧：
扇関数 A() /
櫛関数 C() /
完成・金字塔関数 P() /
扇階段関数 S() /
逆扇階段関数 R()
下降・扇関数 A'() /
下降・櫛関数 C'() /
下降・完成・金字塔関数 P'() /
下降・扇階段関数 S'()の概念図 /
下降・逆扇階段関数 R'()の概念図
扇関数 A()の概念図
扇関数 A()の概念図の概要：
\(x\)を桁数、\(base = n\)をn進数の底とする扇数を返す扇関数\(A(x, base = n)\)の値の概念図です。
扇数は、1の連続で表される数値です。
n進数の扇数では、各桁の値はn進数上で、全て1となり、\(1\)桁目から\(x\)桁目の値まで全て\(1\)となります。
扇数では、\(x\)の値がどれだけ大きくなっても、値の連続性が常に保たれます。
扇数を返す扇関数\(A(x, base = n)\)の値は、下記に示す特徴があります。
- \(n\)進数上で、\(x \leqq 0\)の場合：
- 値は\(0\)となる。
- \(n\)進数上で、\( x > 0\)の場合：
- 最上位の桁は、\(x\)桁目の位置にあり、この桁に含まれる値は\(1\)となる。
- 最下位の桁は、\(1\)桁目の位置にあり、この桁に含まれる値は\(1\)となる。
- 最上位の桁から最下位の桁まで、桁に含まれる値は全て１となる。
櫛関数 C()の概念図
櫛関数 C()の概念図の概要：
櫛数は、1と0の連続で表される数値です。
n進数の櫛数では、\(1\)となる桁が\(x\)個となります。\(s\)は\(1\)の値となる桁の間に挟まる\(0\)の個数となります。
櫛数とは、\(x\)桁の\(n^{s-1}\)進数の扇数の値を、\(n\)進数として観測した値という事ができます。
完成・金字塔関数 P()の概念図
完成・金字塔関数 P()の概念図の概要：
完成・金字塔数とは、n進数の\(x\)桁の扇数の値を自乗して得られる値です。
完成・金字塔数を返す完成・金字塔関数\(P(x, base = n)\)の値は、下記に示す特徴があります。
- \(n\)進数上で、\((n-1) > x\)までの値の場合には、最上位の桁と最下位の桁の値は\(1\)となり、\(x\)桁目の中央の桁が\(x\)の値となるように、各桁の値は連続的に変化します。
- \(n\)進数上で、\(n \geqq x\)の値の場合には、桁上りが生じる為、連続性が崩壊しますが、周期性を持つ特殊なパターンとなります。
位取り記数法で進数の底を10とする、10進数の場合、\(n = 10\)となりますので、\(x\)が9以下の値の場合には、連続性が保たれ、\(x\)が10以上の値の場合には、桁上りが生じる事により、連続性が崩壊しますが、周期性を持つ特殊なパターンとなります。
金字塔数について扇階段関数 S()の概念図
扇階段関数 S()の概念図の概要細：
扇階段数とは、\(1\)桁から\(x\)桁までの扇数の総和の値です。
扇階段数を返す扇階段関数\(S(x, base = n)\)の値は、下記に示す特徴があります。
- \(n\)進数上で、\(x \leqq 0\)の場合：
- 値は\(0\)となる。
- \(n\)進数上で、\((n-1) > x > 0\)の場合：
- 最上位の桁は、\(x\)桁目の位置にあり、この桁に含まれる値は\(1\)となる。
- 最下位の桁は、\(1\)桁目の位置にあり、この桁に含まれる値は\(x\)となる。
- 最上位の桁から最下位の桁まで、桁に含まれる値が、連続的に変化する。
- \(n\)進数上で、\(n \geqq x \)の場合：
- 桁上りが生じる為、連続性が崩壊しますが、周期性を持つ特殊なパターンとなります。
逆扇階段関数 R()の概念図
逆扇階段関数 R()の概念図の概要：
逆扇階段数とは、\(x\)桁の扇数の値を\(x+1\)倍した値から、\(x\)桁の扇階段数の値を引く事で求まる値です。
逆扇階段数を返す逆扇階段関数\(R(x, base = n)\)の値は、下記に示す特徴があります。
- \(n\)進数上で、\(x \leqq 0\)の場合：
- 値は\(0\)となる。
- \(n\)進数上で、\((n-1) > x > 0\)の場合：
- 最上位の桁は、\(x\)桁目の位置にあり、この桁に含まれる値は\(x\)となる。
- 最下位の桁は、\(1\)桁目の位置にあり、この桁に含まれる値は\(1\)となる。
- 最上位の桁から最下位の桁まで、桁に含まれる値が、連続的に変化する。
- \(n\)進数上で、\(n \geqq x \)の場合：
- 桁上りが生じる為、連続性が崩壊しますが、周期性を持つ特殊なパターンとなります。
下降・扇関数 A'()の概念図
下降・扇関数 A'()の概念図の概要：
\(x\)を桁数、\(base = n\)をn進数の底とする扇数を返す扇関数\(A'(x, base = n)\)の値の概念図です。
下降・扇数は、1の連続で表される数値です。
n進数の扇数では、各桁の値はn進数上で、全て1となり、\(1\)桁目から\(x\)桁目の値まで全て\(1\)となります。
通常の扇数は、全て整数の値となり、\(x\)の値が大きくなると上位の桁に向かって値が延びますが、下降・扇数は、小数点以下の方向に桁が延びていきます。
下降・扇数では、\(x\)の値がどれだけ大きくなっても、値の連続性が常に保たれます。
扇数を返す下降・扇関数\(A'(x, base = n)\)の値は、下記に示す特徴があります。
- \(n\)進数上で、\(x \leqq 0\)の場合：
- 値は\(0\)となる。
- \(n\)進数上で、\(x = 1\)の場合：
- 値は\(1\)となる。
- \(n\)進数上で、\( x > 1\)の場合：
- 最上位の桁は、整数の\(1\)桁目の位置にあり、この桁に含まれる値は\(1\)となる。
- 最下位の桁は、小数点以下で、小数点の桁数で数えて\(x-1\)桁目の位置にあり、この桁に含まれる値は\(1\)となる。
- 最上位の桁から最下位の桁まで、桁に含まれる値は全て１となる。
下降・櫛関数 C'()の概念図
下降・完成・金字塔関数 P'()の概念図
下降・扇階段関数 S'()の概念図
下降・逆扇階段関数 R'()の概念図
