扇数体系の公式集
扇数体系の関数一覧： \(A(x)\) / \(S(x)\) / \(R(x)\) / \(P(x)\) / \(V(x, v)\) / \(W(x, w)\) / \(C(x,
s)\)
下降数体系の関数一覧 (別ページ)： \(D(x)\) / \(A'(x)\) / \(S'(x)\) / \(R'(x)\) / \(P'(x)\) \(C'(x, s)\)
扇関数 : \(A(x)\)
正の範囲の扱い
扇数を返す、扇関数\(A(x)\)に対して、 \(x \gt 0\) 、\(x\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。
\(x \gt 0\) の範囲で、扇関数\(A(x)\)が返す値の例：
扇数を返す、扇関数\(A(x)\)は、 \(x \gt 0\) 、\(x\) が整数の値の場合には、下記の値を返します。
\(A(2) = 11\)
\(A(3) = 111\)
\(\vdots\)
\(A(x) = \underbrace{111 \cdots 1}_{x}\)
0以下の範囲の扱い
扇数を返す、扇関数\(A(x)\)に対して、 \(x \leqq 0\) 、\(x\) が整数の値の場合は、0として扱う事にします。
\(x \leqq 0\)の範囲で、扇関数\(A(x)\)が返す値の例：
扇数を返す、扇関数\(A(x)\)は、 \(x \leqq 0\) 、\(x\) が整数の値の場合にか、下記の値を返します。
\(A(-1) = 0\)
\(A(-2) = 0\)
\(A(-3) = 0\)
\(\vdots\)
\(A(x) = 0\)
1桁値が異なる扇数どうしの値の差分で得られる値 : \(x \gt 0\)
\(x \gt 0\) 、\(x\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。
\(x\)の値を、1から9まで変化させた場合の例：
\(A(1) - A(1 - 1) = 1 - 0 = 10^{1 -1} = 10^0 = 1 \)
\(A(2) - A(2 - 1) = 11 - 1 = 10^{2 -1} = 10^1 = 10 \)
\(A(3) - A(3 - 1) = 111 - 11= 10^{3 -1} = 10^2 = 100\)
\(A(4) - A(4 - 1) = 1111 - 111 = 10^{4 -1} = 10^3 = 1000\)
\(A(5) - A(5 - 1) = 11111 - 1111 = 10^{5 -1} = 10^4 = 10000\)
\(A(6) - A(6 - 1) = 111111 -11111 = 10^{6 -1} = 10^5 = 100000 \)
\(A(7) - A(7 - 1) = 1111111 - 111111 = 10^{7 -1} = 10^6 = 1000000\)
\(A(8) - A(8 - 1) = 11111111 - 1111111 = 10^{8 -1} = 10^7 = 10000000\)
\(A(9) - A(9 - 1) = 111111111 - 11111111 = 10^{9 -1} = 10^8 = 100000000\)
1桁値が異なる扇数どうしの値の差分で得られる値 : \(x \geqq 0\)
\(x \geqq 0\)、\(x\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。
\(x\)の値を、0から9まで変化させた場合の例：
\(A(1 + 1) - A(1) = 11 - 1 = 10^1 = 10 \)
\(A(2 + 1) - A(2) = 111 - 11 = 10^2 = 100 \)
\(A(3 + 1) - A(3) = 1111 - 111 = 10^3 = 1000 \)
\(A(4 + 1) - A(4) = 11111 - 1111 = 10^4 = 10000 \)
\(A(5 + 1) - A(5) = 111111 - 11111 = 10^5 = 100000 \)
\(A(6 + 1) - A(6) = 1111111 - 111111 = 10^6 = 1000000 \)
\(A(7 + 1) - A(7) = 11111111 - 1111111 = 10^7 = 10000000 \)
\(A(8 + 1) - A(8) = 111111111 - 11111111 = 10^8 = 100000000 \)
\(A(9 + 1) - A(9) = 1111111111 - 111111111 = 10^9 = 1000000000 \)
桁数の異なる扇数どうしの差分で得られる値
\(x \geqq d \geqq 0\)、\(x\) および \(d\)が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。
桁数の異なる扇数どうしの差分により得られる値の例：
\(A(1) - A(1) = 1 - 1 = 0 = A(0) \times 10^1\)
\(A(2) - A(0) = 11 - 0 = 11 = A(2) \times 10^0\)
\(A(2) - A(1) = 11 - 1 = 10 = A(1) \times 10^1\)
\(A(2) - A(2) = 11 - 11 = 0 = A(0) \times 10^2\)
\(A(3) - A(0) = 111 - 0 = 111 = A(3) \times 10^0\)
\(A(3) - A(1) = 111 - 1 = 110 = A(2) \times 10^1\)
\(A(3) - A(2) = 111 - 11 = 1000 = A(1) \times 10^2\)
\(A(3) - A(3) = 111 - 111 = 0 = A(0) \times 10^3\)
\(A(4) - A(0) = 1111 - 0 = 1111 = A(4) \times 10^0\)
\(A(4) - A(1) = 1111 - 1 = 1110 = A(3) \times 10^1\)
\(A(4) - A(2) = 1111 - 11 = 1100 = A(2) \times 10^2\)
\(A(4) - A(3) = 1111 - 111 = 1000 = A(1) \times 10^3\)
\(A(4) - A(4) = 1111 - 1111 = 0 = A(0) \times 10^4\)
\(A(5) - A(0) = 11111 - 0 = 11111 = A(5) \times 10^0\)
\(A(5) - A(1) = 11111 - 1 = 11110 = A(4) \times 10^1\)
\(A(5) - A(2) = 11111 - 11 = 11100 = A(3) \times 10^2\)
\(A(5) - A(3) = 11111 - 111 = 11000 = A(2) \times 10^3\)
\(A(5) - A(4) = 11111 - 1111 = 10000 = A(1) \times 10^4\)
\(A(5) - A(5) = 11111 - 11111 = 0 = A(0) \times 10^5\)
\(n\)進数の扇関数 : \(A(x, n)\)
扇関数を\(10\)進数から\(n\)進数に拡張した場合：
\(n\)進数の扇数を返す、扇関数 \(A(x, n)\)に対して、 \(x \gt 0\) かつ \(n \geqq 2\) 、\(x\) と \(n\)
が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。
\(n\)進数の扇数を返す、扇関数\(A(x, n)\)に対して、 \(x \leqq 0\) かつ \(n \geqq 2\) 、\(x\) と \(n\)
が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。
1桁値が異なる扇数どうしの値の差分で得られる値 : \(x \gt 0\)
\(x \gt 0\) かつ \(n \geqq 2\) 、\(x\) と \(n\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。
1桁値が異なる扇数どうしの値の差分で得られる値 : \(x \geqq 0\)
\(x \geqq 0\) かつ \(n \geqq 2\) 、\(x\) と \(n\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。
桁数の異なる扇数どうしの差分で得られる値
\(x \geqq d \geqq 0\)かつ \(n \geqq 2\) 、\(x\) および \(d\)、\(n\)が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。
\(n\)進数と\(n^m\)進数の扇数どうしの掛算で得られる値
\(x \geqq d \geqq 0\)かつ \(n \geqq 2\) 、\(m \geqq 0\) 、\(x\) および \(d\)、\(n\)、\(m\)が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。
扇階段関数 : \(S(x)\)
扇階段数を返す、扇階段関数 \(S(x)\) に対して、\(x \gt 0\) 、\(x\) が整数の値の場合は、下記の式が成り立ちます。
扇関数 \(A(x)\)を利用して記述するとより単純な式にすることができます。
扇階段関数\(S(x)\)が返す値の例：
扇階段数を返す、扇階段関数\(S(x)\)は、 \(x \gt 0\) 、\(x\) が整数の値の場合には、下記の値を返します。
\(10\)進数では、\(x\)が\(1\)から\(9\)までの範囲で、各桁に含まれる数値が連続的に変化します。
\(S(2) = 12\)
\(S(3) = 123\)
\(S(4) = 1234\)
\(S(5) = 12345\)
\(S(6) = 123456\)
\(S(7) = 1234567\)
\(S(8) = 12345678\)
\(S(9) = 123456789\)
\(10\)進数では、\(x\)が\(10\)以降の範囲では、桁上りが生じる為、各桁に含まれる数値が連続性が崩壊しますが、周期性のあるパターンとなります。
\(S(11) = 12345679011\)
\(S(12) = 123456790122\)
\(S(13) = 1234567901233\)
\(S(14) = 12345679012344\)
\(S(15) = 123456790123455\)
\(S(16) = 1234567901234566\)
\(S(17) = 12345679012345677\)
\(S(18) = 123456790123456788\)
\(S(19) = 1234567901234567899\)
\(S(20) = 12345679012345679010\)
\(S(21) = 123456790123456790121\)
\(S(22) = 1234567901234567901232\)
\(S(23) = 12345679012345679012343\)
\(S(24) = 123456790123456790123454\)
\(S(25) = 1234567901234567901234565\)
\(S(26) = 12345679012345679012345676\)
\(S(27) = 123456790123456790123456787\)
\(S(28) = 1234567901234567901234567898\)
\(S(29) = 12345679012345679012345679009\)
\(S(30) = 123456790123456790123456790120\)
0以下の範囲の扱い
扇階段数を返す、扇階段関数 \(S(x)\) に対して、\(x \leqq 0\) 、\(x\) が整数の値の場合に、戻り値は\(0\)とします。
扇階段関数\(S(x)\)が返す値の例：
扇階段数を返す、扇階段関数\(S(x)\)は、 \(x \leqq 0\) 、\(x\) が整数の値の場合に、下記の値を返します。
\(S(-1) = 0\)
\(S(-2) = 0\)
\(S(-3) = 0\)
\(\vdots\)
\(S(x) = 0\)
1桁値が異なる扇階段数どうしの値の差分で得られる値
扇階段数を返す、扇階段関数 \(S(x)\) に対して、\(x \geqq 0\) 、\(x\)が整数の値の場合に、下記の式が成り立ち、その値は扇数となります。
\(x\)の値を0から8まで変化させた場合の例：
\(S(1+1) - S(1) = 12-1= 11 = A(1+1)\)
\(S(2+1) - S(2) = 123-12 = 111 = A(2+1)\)
\(S(3+1) - S(3) = 1234-123 = 1111 = A(3+1)\)
\(S(4+1) - S(4) = 12345-1234 = 11111 = A(4+1)\)
\(S(5+1) - S(5) = 123456-12345 = 111111= A(5+1)\)
\(S(6+1) - S(6) = 1234567-123456 = 1111111= A(6+1)\)
\(S(7+1) - S(7) = 12345678-1234567= 11111111=A(7+1)\)
\(S(8+1) - S(8) = 123456789-12345678= 111111111= A(8+1)\)
差分が扇数になる式
\(x\)の値を0から9まで変化させた場合の例：
\(S(1) - S(1-1) = 1-0 = 1 = A(1)\)
\(S(2) - S(2-1) = 12-1 = 11 = A(2)\)
\(S(3) - S(3-1) = 123-12 = 111 = A(3)\)
\(S(4) - S(4-1) = 1234-123 = 1111 = A(4)\)
\(S(5) - S(5-1) = 12345-1234 = 11111= A(5)\)
\(S(6) - S(6-1) = 123456-12345 = 111111= A(6)\)
\(S(7) - S(7-1) = 1234567-123456= 1111111=A(7)\)
\(S(8) - S(8-1) = 12345678-1234567= 11111111= A(8)\)
\(S(9) - S(9-1) = 123456789-12345678= 11111111= A(9)\)
桁数が異なる扇階段数どうしの値の差分で得られる値
\(x\) と \(d\) を整数とした場合、\(x \geqq d \geqq 0\) の条件で下記の式が成り立ちます。
\(x\)と\(d\)の値を0から9まで変化させた場合の例：
\(S(1) - S(1) = 1 - 1 = S(1 - 1) \times 10^1 + A(1) \times (1 - 1) = 0 \times 10^1 + 1 \times 0 = 0
\)
\)
\(S(2) - S(1) = 12 - 1 = S(2 - 1) \times 10^1 + A(1) \times (2 - 1) = 1 \times 10^1 + 1 \times 1 = 11
\)
\(S(2) - S(2) = 12 - 12 = S(2 - 2) \times 10^2 + A(2) \times (2 - 2) = 0 \times 10^2 + 11 \times 0 = 0
\)
\)
\(S(3) - S(1) = 123 - 1 = S(3 - 1) \times 10^1 + A(1) \times (3 - 1) = 12 \times 10^1 + 1 \times 2 = 122
\)
\(S(3) - S(2) = 123 - 12 = S(3 - 2) \times 10^2 + A(2) \times (3 - 2) = 1 \times 10^2 + 11 \times 1 =
111 \)
\(S(3) - S(3) = 123 - 123 = S(3 - 3) \times 10^3 + A(3) \times (3 - 3) =0 \times 10^3 + 111 \times 0 = 0
\)
1234 \)
\(S(4) - S(1) = 1234 - 1 = S(4 - 1) \times 10^1 + A(1) \times (4 - 1) = 123 \times 10^1 + 1 \times 3 =
1233 \)
\(S(4) - S(2) = 1234 - 12 = S(4 - 2) \times 10^2 + A(2) \times (4 - 2) = 12 \times 10^2 + 11 \times 2 =
1222 \)
\(S(4) - S(3) = 1234 - 123 = S(4 - 3) \times 10^3 + A(3) \times (4 - 3) = 1 \times 10^3 + 111 \times 1 =
1111 \)
\(S(4) - S(4) = 1234 - 1234 = S(4 - 4) \times 10^4 + A(4) \times (4 - 4) =0 \times 10^4 + 1111 \times 0
= 0 \)
12345 \)
\(S(5) - S(1) = 12345 - 1 = S(5 - 1) \times 10^1 + A(1) \times (5 - 1) = 1234 \times 10^1 + 1 \times 4 =
12344 \)
\(S(5) - S(2) = 12345 - 12 = S(5 - 2) \times 10^2 + A(2) \times (5 - 2) = 123 \times 10^2 + 11 \times 3
= 12333 \)
\(S(5) - S(3) = 12345 - 123 = S(5 - 3) \times 10^3 + A(3) \times (5 - 3) = 12 \times 10^3 + 111 \times 2
= 12222 \)
\(S(5) - S(4) = 12345 - 1234 = S(5 - 4) \times 10^4 + A(4) \times (5 - 4) = 1 \times 10^4 + 1111 \times
1 = 11111 \)
\(S(5) - S(5) = 12345 - 12345 = S(5 - 5) \times 10^5 + A(5) \times (5 - 5)= 0 \times 10^5 + 11111 \times
0 = 0 \)
= 123456 \)
\(S(6) - S(1) = 123456 - 1 = S(6 - 1) \times 10^1 + A(1) \times (6 - 1) = 12345 \times 10^1 + 1 \times 5
= 123455 \)
\(S(6) - S(2) = 123456 - 12 = S(6 - 2) \times 10^2 + A(2) \times (6 - 2) = 1234 \times 10^2 + 11 \times
4 = 123444 \)
\(S(6) - S(3) = 123456 - 123 = S(6 - 3) \times 10^3 + A(3) \times (6 - 3) = 123 \times 10^3 + 111 \times
3 = 123333\)
\(S(6) - S(4) = 123456 - 1234 = S(6 - 4) \times 10^4 + A(4) \times (6 - 4) = 12 \times 10^4 + 1111
\times 2 = 122222 \)
\(S(6) - S(5) = 123456 - 12345 = S(6 - 5) \times 10^5 + A(5) \times (6 - 5) = 1 \times 10^5 + 11111
\times 1 = 111111 \)
\(S(6) - S(6) = 123456 - 123456 = S(6 - 6) \times 10^6 + A(6) \times (6 - 6) = 0 \times 10^6 + 111111
\times 0 = 0 \)
7= 1234567 \)
\(S(7) - S(1) = 1234567 - 1 = S(7 - 1) \times 10^1 + A(1) \times (7 - 1) = 123456 \times 10^1 + 1 \times
6 = 1234566 \)
\(S(7) - S(2) = 1234567 - 12 = S(7 - 2) \times 10^2 + A(2) \times (7 - 2) = 12345 \times 10^2 + 11
\times 5 = 1234555 \)
\(S(7) - S(3) = 1234567 - 123 = S(7 - 3) \times 10^3 + A(3) \times (7 - 3) = 1234 \times 10^3 + 111
\times 4 = 1234444 \)
\(S(7) - S(4) = 1234567 - 1234 = S(7 - 4) \times 10^4 + A(4) \times (7 - 4) = 123 \times 10^4 + 1111
\times 3 = 1233333 \)
\(S(7) - S(5) = 1234567 - 12345 = S(7 - 5) \times 10^5 + A(5) \times (7 - 5) = 12 \times 10^5 + 11111
\times 2 = 1222222 \)
\(S(7) - S(6) = 1234567 - 123456 = S(7 - 6) \times 10^6 + A(6) \times (7 - 6) = 1 \times 10^6 + 111111
\times 1 = 1111111 \)
\(S(7) - S(7) = 1234567 - 1234567 = S(7 - 7) \times 10^7 + A(7) \times (7 - 7)= 0 \times 10^7 + 1111111
\times 0 = 0 \)
\times 8= 12345678 \)
\(S(8) - S(1) = 12345678 - 1 = S(8 - 1) \times 10^1 + A(1) \times (8 - 1) = 1234567 \times 10^1 + 1
\times 7 = 12345677 \)
\(S(8) - S(2) = 12345678 - 12 = S(8 - 2) \times 10^2 + A(2) \times (8 - 2) = 123456 \times 10^2 + 11
\times 6 = 12345666 \)
\(S(8) - S(3) = 12345678 - 123 = S(8 - 3) \times 10^3 + A(3) \times (8 - 3) = 12345 \times 10^3 + 111
\times 5 = 12345555 \)
\(S(8) - S(4) = 12345678 - 1234 = S(8 - 4) \times 10^4 + A(4) \times (8 - 4) = 1234 \times 10^4 + 1111
\times 4 = 12344444 \)
\(S(8) - S(5) = 12345678 - 12345 = S(8 - 5) \times 10^5 + A(5) \times (8 - 5) = 123 \times 10^5 + 11111
\times 3 = 12333333 \)
\(S(8) - S(6) = 12345678 - 123456 = S(8 - 6) \times 10^6 + A(6) \times (8 - 6) = 12 \times 10^6 + 111111
\times 2 = 12222222 \)
\(S(8) - S(7) = 12345678 - 1234567 = S(8 - 7) \times 10^7 + A(7) \times (8 - 7) = 1 \times 10^7 +
1111111 \times 1 = 11111111 \)
\(S(8) - S(8) = 12345678 - 12345678 = S(8 - 8) \times 10^8 + A(8) \times (8 - 8) = 0 \times 10^8 +
11111111 \times 0 = 0 \)
\times 9 = 123456789\)
\(S(9) - S(1) = 123456789 - 1 = S(9 - 1) \times 10^1 + A(1) \times (9 - 1) = 12345678 \times 10^1 + 1
\times 8 = 123456788 \)
\(S(9) - S(2) = 123456789 - 12 = S(9 - 2) \times 10^2 + A(2) \times (9 - 2) = 1234567 \times 10^2 + 11
\times 7 = 123456777 \)
\(S(9) - S(3) = 123456789 - 123 = S(9 - 3) \times 10^3 + A(3) \times (9 - 3) = 123456 \times 10^3 + 111
\times 6 = 123456666 \)
\(S(9) - S(4) = 123456789 - 1234 = S(9 - 4) \times 10^4 + A(4) \times (9 - 4) = 12345 \times 10^4 + 1111
\times 5 = 123455555 \)
\(S(9) - S(5) = 123456789 - 12345 = S(9 - 5) \times 10^5 + A(5) \times (9 - 5) = 1234 \times 10^5 +
11111 \times 4 = 123444444 \)
\(S(9) - S(6) = 123456789 - 123456 = S(9 - 6) \times 10^6 + A(6) \times (9 - 6) = 123 \times 10^6 +
111111 \times 3 = 123333333 \)
\(S(9) - S(7) = 123456789 - 1234567 = S(9 - 7) \times 10^7 + A(7) \times (9 - 7) = 12 \times 10^7 +
1111111 \times 2 = 122222222 \)
\(S(9) - S(8) = 123456789 - 12345678 = S(9 - 8) \times 10^8 + A(8) \times (9 - 8) = 1 \times 10^8 +
11111111 \times 1 = 111111111 \)
\(S(9) - S(9) = 123456789 - 123456789 = S(9 - 9) \times 10^9 + A(9) \times (9 - 9) = 0 \times 10^9 +
111111111 \times 0 = 0 \)
扇階段数と金字塔数の関係
\(x \geqq 0\) の整数の場合に下記の式が成り立ちます。
\(x\)の値を0から9まで変化させた場合の例：
\(S( (1 \times 2) + 1) - 2 \times S(1) = 123 - 2 \times 1 = A(1 + 1)^2 = P(1 + 1) = 121 \)
\(S( (2 \times 2) + 1) - 2 \times S(2) = 12345 - 2 \times 12 = A(2 + 1)^2 = P(2 + 1) = 12321 \)
\(S( (3 \times 2) + 1) - 2 \times S(3) = 1234567 - 2 \times 123 = A(3 + 1)^2 = P(3 + 1) = 1234321 \)
\(S( (4 \times 2) + 1) - 2 \times S(4) = 123456789 - 2 \times 1234 = A(4 + 1)^2 = P(4 + 1) = 123454321
\)
\(n\)進数の扇階段数 : \(S(x, n)\)
扇階段数を\(10\)進数から\(n\)進数に拡張した場合：
扇階段数を返す、扇階段関数 \(S(x, n)\) に対して、\(x \gt 0\) かつ \(n \geqq 2\) 、\(x\) および \(n\)
が整数の値の場合は、下記の式が成り立ちます。
n^{x-1}\)
上記の式は、扇関数\(A(x,n)\)を利用して記述するとより単純な式として記述できます。
扇階段数を返す、扇階段関数 \(S(x)\) に対して、\(x \leqq 0\) 、\(x\) が整数の値の場合に、戻り値は\(0\)とします。
\(10\)進数では、\(x\)が\(1\)から\(9\)までの範囲で、各桁に含まれる値が連続的に変化したように、\(n\)進数では、\( x \lt
n\)の範囲まで、連続性が保たれます。
櫛数を解説したページの中で説明しているように、複数の桁を束ねて1桁として観測する事で、\(n\)の累乗進数を\(n\)進数から観測する事ができるので、この考え方を利用する事で、連続性が保たれる桁数を、更に拡張する事ができます。
1桁値が異なるn進数の扇階段数どうしの値の差分で得られる値
扇階段数を返す、扇階段関数 \(S(x, n)\) に対して、\(x \geqq 0\) かつ \(n \geqq 2\) 、\(x\) および \(n\)
が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。
差分が扇数になる式
扇階段数を返す、扇階段関数 \(S(x, n)\) に対して\(x \geqq 0\) かつ \(n \geqq 2\) 、\(x\) および \(n\)
が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。
桁数が異なるn進数の扇階段数どうしの値の差分で得られる値
\(x\) と \(d\) 、\(n\)を整数とした場合、\(x \geqq d \geqq 0\) かつ \(n \geqq 2\) の条件で下記の式が成り立ちます。
n進数の扇階段数と金字塔数の関係
\(x \geqq 0\) かつ \(n \geqq 2\)、\(x\)と\(n\)が整数の場合に下記の式が成り立ちます。
P(x + 1, n)\)
逆扇階段関数 : \(R(x)\)
逆扇階段数を返す、逆扇階段関数 \(R(x)\) に対して、\(x \geqq 0\) 、\(x\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。
{10^{x} -1}
{9} )
-(\displaystyle \frac
{10^{x+1} -10 -x \times 9}
{81})
\)
扇関数 \(A(x)\) を利用すると下記の式として表記する事ができます。
扇関数 \(A(x)\) と扇階段関数 \(S(x)\) を利用するとより単純な式として表記する事ができます。
逆扇階段関数\(R(x)\)が返す値の例：
逆扇階段数を返す、逆扇階段関数\(R(x)\)は、 \(x \geqq 0\) 、\(x\) が整数の値の場合には、下記の値を返します。
\(10\)進数では、\(x\)が\(1\) から \(9\) までの範囲の値の場合には、各桁に含まれる値の変化が連続的になります。
\(R(2) = (2 + 1) \times A(2) - S(2) = (2 + 1) \times 11 - 12 = 21\)
\(R(3) = (3 + 1) \times A(3) - S(3) = (3 + 1) \times 111 - 123 = 321\)
\(R(4) = (4 + 1) \times A(4) - S(4) = (4 + 1) \times 1111 - 1234 =4321\)
\(R(5) = (5 + 1) \times A(5) - S(5) = (5 + 1) \times 11111 - 12345 = 54321\)
\(R(6) = (6 + 1) \times A(6) - S(6) = (6 + 1) \times 111111 - 123456 = 654321\)
\(R(7) = (7 + 1) \times A(7) - S(7) = (7 + 1) \times 1111111 - 1234567 = 7654321\)
\(R(8) = (8 + 1) \times A(8) - S(8) = (8 + 1) \times 11111111 - 12345678 = 87654321\)
\(R(9) = (9 + 1) \times A(9) - S(9) = (9 + 1) \times 111111111 - 123456789 = 987654321\)
\(10\)進数では、\(x\)が\(10\) 以上の範囲の値の場合には、各桁に含まれる値の変化がの連続性が、桁上りにより、崩壊しますが、周期性のある、特殊な繰り返しパターンとなります。
\(R(11) = (11 + 1) \times A(11) -S(11) = (11 + 1) \times 11111111111 - 12345679011 =
120987654321\)
\(R(12) = (12 + 1) \times A(12) -S(12) = (12 + 1) \times 111111111111 - 123456790122 =
1320987654321\)
\(R(13) = (13 + 1) \times A(13) -S(13) = (13 + 1) \times 1111111111111 - 1234567901233 =
14320987654321\)
\(R(14) = (14 + 1) \times A(14) -S(14) = (14 + 1) \times 11111111111111 - 12345679012344 =
154320987654321\)
\(R(15) = (15 + 1) \times A(15) -S(15) = (15 + 1) \times 111111111111111 - 123456790123455 =
1654320987654321\)
\(R(16) = (16 + 1) \times A(16) -S(16) = (16 + 1) \times 1111111111111111 - 1234567901234566 =
17654320987654321\)
\(R(17) = (17 + 1) \times A(17) -S(17) = (17 + 1) \times 11111111111111111 - 12345679012345677 =
187654320987654321\)
\(R(18) = (18 + 1) \times A(18) -S(18) = (18 + 1) \times 111111111111111111 - 123456790123456788 =
1987654320987654321\)
\(R(19) = (19 + 1) \times A(19) -S(19) = (19 + 1) \times 1111111111111111111 - 1234567901234567899 =
20987654320987654321\)
\(R(20) = (20 + 1) \times A(20) -S(20) = (20 + 1) \times 11111111111111111111 - 12345679012345679010
= 220987654320987654321\)
\(R(21) = (21 + 1) \times A(21) -S(21) = (21 + 1) \times 111111111111111111111 -
123456790123456790121 = 2320987654320987654321\)
\(R(22) = (22 + 1) \times A(22) -S(22) = (22 + 1) \times 1111111111111111111111 -
1234567901234567901232 = 24320987654320987654321\)
\(R(23) = (23 + 1) \times A(23) -S(23) = (23 + 1) \times 11111111111111111111111 -
12345679012345679012343 = 254320987654320987654321\)
\(R(24) = (24 + 1) \times A(24) -S(24) = (24 + 1) \times 111111111111111111111111 -
123456790123456790123454 = 2654320987654320987654321\)
\(R(25) = (25 + 1) \times A(25) -S(25) = (25 + 1) \times 1111111111111111111111111 -
1234567901234567901234565 = 27654320987654320987654321\)
\(R(26) = (26 + 1) \times A(26) -S(26) = (26 + 1) \times 11111111111111111111111111 -
12345679012345679012345676 = 287654320987654320987654321\)
\(R(27) = (27 + 1) \times A(27) -S(27) = (27 + 1) \times 111111111111111111111111111 -
123456790123456790123456787 = 2987654320987654320987654321\)
\(R(28) = (28 + 1) \times A(28) -S(28) = (28 + 1) \times 1111111111111111111111111111 -
1234567901234567901234567898 = 30987654320987654320987654321\)
\(R(29) = (29 + 1) \times A(29) -S(29) = (29 + 1) \times 11111111111111111111111111111 -
12345679012345679012345679009 = 320987654320987654320987654321\)
\(R(30) = (30 + 1) \times A(30) -S(30) = (30 + 1) \times 111111111111111111111111111111 -
123456790123456790123456790120 = 3320987654320987654320987654321\)
0以下の範囲の扱い
逆扇階段数を返す、逆扇階段関数\(R(x)\)は、 \(x \leqq 0\) 、\(x\) が整数の値の場合には、下記の値を返します。
逆扇階段関数\(R(x)\)が返す値の例：
逆扇階段数を返す、逆扇階段関数\(R(x)\)は、 \(x \leqq 0\) 、\(x\) が整数の値の場合にか、下記の値を返します。
\(R(-1) = 0\)
\(R(-2) = 0\)
\(R(-3) = 0\)
\(\vdots\)
\(R(x) = 0\)
桁数が異なる扇階段数どうしの値の差分で得られる値
逆扇階段数を返す、逆扇階段関数 \(R(x)\) に対して、\(x \geqq 0\) 、\(x\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。
\(x\)の値を0から8まで変化させた場合の例：
\(R(1 + 1) - R(1) = 21 - 1 = 20 = (1 + 1) \times 10 ^1 = 2 \times 10^1 \)
\(R(2 + 1) - R(2) = 321 - 21 = 300 = (2 + 1) \times 10 ^2 = 3 \times 10^2 \)
\(R(3 + 1) - R(3) = 4321 - 321 = 4000 = (3 + 1) \times 10 ^3 = 4 \times 10^3 \)
\(R(4 + 1) - R(4) = 54321 - 4321 = 50000 = (4 + 1) \times 10 ^4 = 5 \times 10^4 \)
\(R(5 + 1) - R(5) = 654321 - 54321 = 600000 = (5 + 1) \times 10 ^5 = 6 \times 10^5 \)
\(R(6 + 1) - R(6) = 7654321 - 654321 = 7000000 = (6 + 1) \times 10 ^6 = 7 \times 10^6 \)
\(R(7 + 1) - R(7) = 87654321 - 7654321 = 80000000 = (7 + 1) \times 10 ^7 = 8 \times 10^7 \)
\(R(8 + 1) - R(8) = 987654321 - 87654321 = 900000000 = (8 + 1) \times 10 ^8 = 9 \times 10^8 \)
差分が扇数になる式
逆扇階段数を返す、逆扇階段関数 \(R(x)\) に対して、\(x \geqq 0\) 、\(x\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。
\(x\)の値を0から8まで変化させた場合の例：
\(R(1 + 1) - R(1) \times 10 = 21 - 1 \times 10 = 11 = A(2)\)
\(R(2 + 1) - R(2) \times 10 = 321 - 21 \times 10 = 111 = A(3)\)
\(R(3 + 1) - R(3) \times 10 = 4321 - 321 \times 10 = 1111 = A(4)\)
\(R(4 + 1) - R(4) \times 10 = 54321 - 4321 \times 10 = 11111 = A(5)\)
\(R(5 + 1) - R(5) \times 10 = 654321 - 54321 \times 10 = 111111 = A(6)\)
\(R(6 + 1) - R(6) \times 10 = 7654321 - 654321 \times 10 = 1111111 = A(7)\)
\(R(7 + 1) - R(7) \times 10 = 87654321 - 7654321 \times 10 = 11111111 = A(8)\)
\(R(8 + 1) - R(8) \times 10 = 987654321 - 87654321 \times 10 = 111111111 =A(9)\)
\(n\)進数の逆扇階段関数 : \(R(x, n)\)
逆扇階段数を\(10\)進数から\(n\)進数に拡張した場合：
逆扇階段数を返す、逆扇階段関数 \(R(x, n)\) に対して、\(x \gt 0\) かつ \(n \geqq 2\)、\(x\) および \(n\)
が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。
{n^{x} -1}
{n-1})
-\displaystyle (\frac
{n^{x+1} -n -x \times (n-1)}
{(n-1)^2})
\)
扇関数 \(A(x,n)\) を利用すると下記の式として表記する事ができます。
\( \cdots + A(x-1,n) \times n^{1}+ A(x,n) \times n^{0}\)
扇関数 \(A(x,n)\) と扇階段関数 \(R(x,n)\) を利用するとより単純な式として表記する事ができます。
逆扇階段数を返す、逆扇階段関数\(R(x)\)は、 \(x \leqq 0\) かつ \(n \geqq 2 \) 、\(x\) かつ \(n\)が整数の値の場合には、下記の値を返します。
\(10\)進数では、\(x\)が\(1\)から\(9\)までの範囲で、各桁に含まれる値が連続的に変化したように、\(n\)進数では、\( x \lt
n\)の範囲まで、連続性が保たれます。
櫛数を解説したページの中で説明しているように、複数の桁を束ねて1桁として観測する事で、\(n\)の累乗進数を\(n\)進数から観測する事ができるので、この考え方を利用する事で、連続性が保たれる桁数を、更に拡張する事ができます。
桁数が異なる扇階段数どうしの値の差分で得られる値
逆扇階段数を返す、逆扇階段関数 \(R(x, n)\) に対して、\(x \geqq 0\) かつ \(n \geqq 2\)、\(x\) および \(n\)
が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。
差分が扇数になる式
逆扇階段数を返す、逆扇階段関数 \(R(x, n)\) に対して、\(x \geqq 0\) かつ \(n \geqq 2\)、\(x\) および \(n\)
が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。
扇関数 \(A(x,n)\)と扇階段関数 \(S(x,n)\)と逆扇階段関数 \(R(x,n)\)の関係
扇関数 \(A(x,n)\)と扇階段関数 \(S(x,n)\)と逆扇階段関数 \(R(x,n)\)の間には、下記の式が成り立ちます。
\(x \geqq 0\) の場合：
{R(x,n) +S(x,n)}
{(x+1)}
\)
\(x \leqq 0\) の場合：
完成・金字塔関数 : \(P(x)\)
完成・金字塔数を返す、完成・金字塔関数 \(P(x)\) に対して、 \(x \geqq 0\)、 \(x\)が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。
\(\cdots +(x-1) \times 10^{x-2} + (x-0) \times 10^{x-1} + (x - 1) \times 10^{x} + \cdots \)
\(\cdots +3 \times 10^{(2 \times x) -3} +2 \times 10^{(2 \times x) -2} +1 \times 10^{(2 \times x) -1}\)
完成・金字塔関数\(P(x)\)が返す値の例：
完成・金字塔数を返す、完成・金字塔関数 \(P(x)\) は、 \(x \geqq 0\) 、\(x\) が整数の値の場合には、下記の値を返します。
\(10\)進数では、\(x\)が\(0\)から\(9\)までの範囲では、各桁に含まれる値のどうしの連続性が維持されます。
\(P(1) =A(1)^2 = 1^2= 1\)
\(P(2) =A(2)^2 = 11^2= 121\)
\(P(3) =A(3)^2 = 111^2= 12321\)
\(P(4) =A(4)^2 = 1111^2= 1234321\)
\(P(5) =A(5)^2 = 11111^2= 123454321\)
\(P(6) =A(6)^2 = 111111^2= 12345654321\)
\(P(7) =A(7)^2 = 1111111^2= 1234567654321\)
\(P(8) =A(8)^2 = 11111111^2= 123456787654321\)
\(P(9) =A(9)^2 = 111111111^2= 12345678987654321\)
\(10\)進数では、\(x\)が\(10\)以上の範囲では、各桁に含まれる値のどうしの連続性が崩壊しますが、周期的なパターンが存在します。
\(P(11) = A(11)^2 = 11111111111^2 = 123456790120987654321 \)
\(P(12) = A(12)^2 = 111111111111^2 = 12345679012320987654321 \)
\(P(13) = A(13)^2 = 1111111111111^2 = 1234567901234320987654321 \)
\(P(14) = A(14)^2 = 11111111111111^2 = 123456790123454320987654321 \)
\(P(15) = A(15)^2 = 111111111111111^2 = 12345679012345654320987654321 \)
\(P(16) = A(16)^2 = 1111111111111111^2 = 1234567901234567654320987654321 \)
\(P(17) = A(17)^2 = 11111111111111111^2 = 123456790123456787654320987654321 \)
\(P(18) = A(18)^2 = 111111111111111111^2 = 12345679012345678987654320987654321 \)
\(P(19) = A(19)^2 = 1111111111111111111^2 = 1234567901234567900987654320987654321 \)
\(P(20) = A(20)^2 = 11111111111111111111^2 = 123456790123456790120987654320987654321 \)
\(P(21) = A(21)^2 = 111111111111111111111^2 = 12345679012345679012320987654320987654321 \)
\(P(22) = A(22)^2 = 1111111111111111111111^2 = 1234567901234567901234320987654320987654321 \)
\(P(23) = A(23)^2 = 11111111111111111111111^2 = 123456790123456790123454320987654320987654321 \)
\(P(24) = A(24)^2 = 111111111111111111111111^2 = 12345679012345679012345654320987654320987654321
\)
\(P(25) = A(25)^2 = 1111111111111111111111111^2 = 1234567901234567901234567654320987654320987654321
\)
\(P(26) = A(26)^2 = 11111111111111111111111111^2 =
123456790123456790123456787654320987654320987654321 \)
\(P(27) = A(27)^2 = 111111111111111111111111111^2 =
12345679012345679012345678987654320987654320987654321 \)
\(P(28) = A(28)^2 = 1111111111111111111111111111^2 =
1234567901234567901234567900987654320987654320987654321 \)
\(P(29) = A(29)^2 = 11111111111111111111111111111^2 =
123456790123456790123456790120987654320987654320987654321 \)
\(P(30) = A(30)^2 = 111111111111111111111111111111^2 =
12345679012345679012345679012320987654320987654320987654321 \)
差分が扇数になる式
\(x \geqq 0\)、\(x\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。
\(x\)の値を0から8まで変化させた場合の例：
\(P(1 + 1) - P(1) \times 10 = 121 - 1 \times 10 = A(2 \times (1 + 1) - 1) = 111\)
\(P(2 + 1) - P(2) \times 10 = 12321 - 121 \times 10 = A(2 \times (2 + 1) - 1) = 11111\)
\(P(3 + 1) - P(3) \times 10 = 1234321 - 12321 \times 10 = A(2 \times (3 + 1) - 1) = 1111111\)
\(P(4 + 1) - P(4) \times 10 = 123454321 - 1234321 \times 10 = A(2 \times (4 + 1) - 1) = 111111111\)
\(P(5 + 1) - P(5) \times 10 = 12345654321 - 123454321 \times 10 = A(2 \times (5 + 1) - 1) =
11111111111\)
\(P(6 + 1) - P(6) \times 10 = 1234567654321 - 12345654321 \times 10 = A(2 \times (6 + 1) - 1) =
1111111111111\)
\(P(7 + 1) - P(7) \times 10 = 123456787654321 - 1234567654321 \times 10 = A(2 \times (7 + 1) - 1) =
111111111111111\)
\(P(8 + 1) - P(8) \times 10 = 12345678987654321 - 123456787654321 \times 10 = A(2 \times (8 + 1) - 1) =
11111111111111111\)
完成・金字塔関数と階段関数に逆扇階段関数との関係
\(x \geqq 0\)、\(x\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。
扇階段関数 \(S(x)\)の桁合わせを行い、逆扇階段関数 \(R(x)\) と足し合わせて得られる値は完成・金字塔関数 \(P(x)\)の返す値と一致します。
\(x\)の値を0から9まで変化させた場合の例：
10^{-1} + 0 \)
\( P(1) = 1 = S(1-1) \times 10^1 + R(1) = 0 \times 10^1 + 1 = S(1) \times 10^{1-1} + R(1-1) = 1 \times
10^0 + 0 \)
\( P(2) = 121 = S(2-1) \times 10^2 + R(2) = 1 \times 10^2 + 21 = S(2) \times 10^{2-1} + R(2-1) = 12
\times 10^1 + 1 \)
\( P(3) = 12321 = S(3-1) \times 10^3 + R(3) = 12 \times 10^3 + 321 = S(3) \times 10^{3-1} + R(3-1) = 123
\times 10^2 + 21 \)
\( P(4) = 1234321 = S(4-1) \times 10^4 + R(4) = 123 \times 10^4 + 4321 = S(4) \times 10^{4-1} + R(4-1) =
1234 \times 10^3 + 321 \)
\( P(5) = 123454321 = S(5-1) \times 10^5 + R(5) = 1234 \times 10^5 + 54321 = S(5) \times 10^{5-1} +
R(5-1) = 12345 \times 10^4 + 4321 \)
\( P(6) = 12345654321 = S(6-1) \times 10^6 + R(6) = 12345 \times 10^6 + 654321 = S(6) \times 10^{6-1} +
R(6-1) = 123456 \times 10^5 + 54321 \)
\( P(7) = 1234567654321 = S(7-1) \times 10^7 + R(7) = 123456 \times 10^7 + 7654321 = S(7) \times
10^{7-1} + R(7-1)= 1234567 \times 10^6 + 654321 \)
\( P(8) = 123456787654321 = S(8-1) \times 10^8 + R(8) = 1234567 \times 10^8 + 87654321 = S(8) \times
10^{8-1} + R(8-1) = 12345678 \times 10^7 + 7654321 \)
\( P(9) = 12345678987654321 = S(9-1) \times 10^9 + R(9) = 12345678 \times 10^9 + 987654321 = S(9) \times
10^{9-1} + R(9-1) = 123456789 \times 10^8 + 87654321 \)
\(n\)進数の完成・金字塔関数 : \(P(x, n)\)
完成・金字塔数を\(10\)進数から\(n\)進数に拡張した場合：
\(n\)進数の完成・金字塔数を返す、完成・金字塔関数 \(P(x, n)\) に対して、 \(x \geqq 0\) かつ \(n \geqq 2\)、
\(x\)および\(n\)が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。
\(\cdots +(x-1) \times n^{x-2} + (x-0) \times n^{x-1} + (x - 1) \times n^{x} + \cdots \)
\(\cdots +3 \times n^{(2 \times x) -3} +2 \times n^{(2 \times x) -2} +1 \times n^{(2 \times x) -1}\)
\(10\)進数では、\(x\)が\(1\)から\(9\)までの範囲で、各桁に含まれる値が連続的に変化したように、\(n\)進数では、\( x \lt
n\)の範囲まで、連続性が保たれます。
櫛数を解説したページの中で説明しているように、複数の桁を束ねて1桁として観測する事で、\(n\)の累乗進数を\(n\)進数から観測する事ができるので、この考え方を利用する事で、連続性が保たれる桁数を、更に拡張する事ができます。
差分が扇数になる式
\(x \geqq 0\) かつ \(n \geqq 2\)、\(x\) および \(n\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。
完成・金字塔関数と階段関数に逆扇階段関数との関係
\(x \geqq 0\) かつ \(n \geqq 2\)、\(x\) および \(n\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。
扇階段関数 \(S(x, n)\)の桁合わせを行い、逆扇階段関数 \(R(x, n)\) と足し合わせて得られる値は完成・金字塔関数 \(P(x, n)\)の返す値と一致します。
未完成・金字塔数 : \(V(x,v)\)
未完成・金字塔数を返す、未完成・金字塔関数 \(V(x, v)\) に対して、 \(x \geqq 0\) かつ \(v \geqq 0\)、\(x\) および、\(v\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。
未完成・金字塔関数 \(V(x, v)\)が返す値の例：
未完成・金字塔数を返す、未完成・金字塔関数 \(V(x, v)\) は、 \(x \geqq 0\) かつ \(v \geqq 0\) 、\(x\) および \(v\)
が整数の値の場合には、下記の値を返します。
\(V(1,2) =A(1) \times A(1 + 2 -1) = 1 \times 11 = 11\)
\(V(1,3) =A(1) \times A(1 + 3 -1) = 1 \times 111 = 111\)
\(V(1,4) =A(1) \times A(1 + 4 -1) = 1 \times 1111 = 1111\)
\(V(2,2) =A(2) \times A(2 + 2 -1) = 11 \times 111 = 1221\)
\(V(2,3) =A(2) \times A(2 + 3 -1) = 11 \times 1111 = 12221\)
\(V(2,4) =A(2) \times A(2 + 4 -1) = 11 \times 11111 = 122221\)
\(V(3,2) =A(3) \times A(3 + 2 -1) = 111 \times 1111 = 123321\)
\(V(3,3) =A(3) \times A(3 + 3 -1) = 111 \times 11111 = 1233321\)
\(V(3,4) =A(3) \times A(3 + 4 -1) = 111 \times 111111 = 12333321\)
\(V(4,2) =A(4) \times A(4 + 2 -1) = 1111 \times 11111 = 12344321\)
\(V(4,3) =A(4) \times A(4 + 3 -1) = 1111 \times 111111 = 123444321\)
\(V(4,4) =A(4) \times A(4 + 4 -1) = 1111 \times 1111111 = 1234444321\)
未完成・金字塔数を返す、未完成・金字塔関数 \(V(x, v)\) に対して、 \(x \geqq 0\) かつ \(v = 1\)、\(x\)
が整数の値の場合に、下記の式が成り立ち、完成・金字塔関数の値と一致します。
未完成・金字塔関数 \(V(x, 1)\)が返す値の例：
未完成・金字塔数を返す、未完成・金字塔関数 \(V(x, v)\) は、 \(x \geqq 0\) かつ \(v = 1\) 、\(x\) が整数の値の場合には、下記の値を返します。
\(V(2,1) =A(2) \times A(2 + 1 -1) = 11 \times 11 = 121 = P(2) \)
\(V(3,1) =A(3) \times A(3 + 1 -1) = 111 \times 111 = 12321 = P(3) \)
\(V(4,1) =A(4) \times A(4 + 1 -1) = 1111 \times 1111 = 1234321 =P(4) \)
未完成・金字塔数を返す、未完成・金字塔関数 \(V(x, v)\) に対して、 \(x = 1\) かつ \(v \geqq 0\)、\(v\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ち、扇関数の値と一致します。
未完成・金字塔関数 \(V(1, v)\)が返す値の例：
未完成・金字塔数を返す、未完成・金字塔関数 \(V(x, v)\) は、 \(x = 1\) かつ \(v \geqq 0\) 、\(v\) が整数の値の場合には、下記の値を返します。
\(V(1,2) =A(1) \times A(1 + 2 -1) = 1 \times 11 = 11 = A(2) \)
\(V(1,3) =A(1) \times A(1 + 3 -1) = 1 \times 111 = 111 = A(3) \)
\(V(1,4) =A(1) \times A(1 + 4 -1) = 1 \times 1111 = 1111 = A(4) \)
\(n\)進数の未完成・金字塔数 : \(V(x,v, n)\)
未完成・金字塔数を\(10\)進数から\(n\)進数に拡張した場合：
未完成・金字塔数を返す、未完成・金字塔関数 \(V(x, v, n)\) に対して、 \(x \geqq 0\) かつ \(v \geqq 0\)、\(n \geqq 2\) の条件で、
\(x\) および、\(v\)、\(n\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。
未完成・金字塔数を返す、未完成・金字塔関数 \(V(x, v, n)\) に対して、 \(x \geqq 0\) かつ \(v = 1\)、\(n \geqq 2\) の条件で、
\(x\) および \(n\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ち、完成・金字塔関数の値と一致します。
未完成・金字塔数を返す、未完成・金字塔関数 \(V(x, v, n)\) に対して、 \(x = 0\) かつ \(v \geqq 0\)、\(n \geqq 2\) の条件で、
\(v\) および、\(n\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ち、扇関数の値と一致します。
階段・金字塔関数 : \(W(x,w)\)
階段・金字塔数を返す階段・金字塔関数 \(W(x, w)\) に対して、 \(x \geqq 0\) かつ \(w \geqq 0\)、\(x\) および、 \(w\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。
階段・金字塔関数 \(W(x, w)\)が返す値の例：
階段・金字塔数を返す、階段・金字塔関数 \(W(x, w)\) は、 \(x \geqq 0\) かつ \(w\geqq 0\) 、\(x\) および \(w\)
が整数の値の場合には、下記の値を返します。
\(W(1, 2) = A(1 \times 2) \times A(1, 10^2) = 11 \times 1 = 11\)
\(W(1, 3) = A(1 \times 3) \times A(1, 10^3) = 111 \times 1 = 111\)
\(W(1, 4) = A(1 \times 4) \times A(1, 10^4) = 1111 \times 1 = 1111\)
\(W(2, 2) = A(2 \times 2) \times A(2, 10^2) = 1111 \times 101= 112211 \)
\(W(2, 3) = A(2 \times 3) \times A(2, 10^3) = 111111 \times 1001= 111222111\)
\(W(2, 4) = A(2 \times 4) \times A(2, 10^4) = 11111111 \times 10001= 111122221111\)
\(W(3, 2) = A(3 \times 2) \times A(3, 10^2) = 111111 \times 10101 = 1122332211 \)
\(W(3, 3) = A(3 \times 3) \times A(3, 10^3) = 111111111 \times 1001001 = 111222333222111 \)
\(W(3, 4) = A(3 \times 4) \times A(3, 10^4) = 111111111111 \times 100010001 = 11112222333322221111
\)
\(W(4, 2) = A(4 \times 2) \times A(4, 10^2) = 11111111 \times 1010101 = 11223344332211 \)
\(W(4, 3) = A(4 \times 3) \times A(4, 10^3) = 111111111111 \times 1001001001 =
111222333444333222111\)
\(W(4, 4) = A(4 \times 4) \times A(4, 10^4) = 1111111111111111 \times 1000100010001 =
1111222233334444333322221111\)
階段・金字塔数を返す階段・金字塔関数 \(W(x, w)\) に対して、 \(x \geqq 0\) かつ \(w = 1\)、\(x\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ち、完成・金字塔関数の値と一致します。
階段・金字塔関数 \(W(x, 1)\)が返す値の例：
階段・金字塔数を返す、階段・金字塔関数 \(W(x, w)\) は、 \(x \geqq 0\) かつ \(w = 1\) 、\(x\) が整数の値の場合には、下記の値を返します。
\(W(2, 1) = A(2 \times 1) \times A(2, 10^1) = 11 \times 11 = 121 = P(2) \)
\(W(3, 1) = A(3 \times 1) \times A(3, 10^1) = 111 \times 111 = 12321 = P(3) \)
\(W(4, 1) = A(4 \times 1) \times A(4, 10^1) = 1111 \times 1111 = 1234321 = P(4) \)
階段・金字塔数を返す階段・金字塔関数 \(W(x, w)\) に対して、 \(x = 1\) かつ \(w \geqq 0\)、 \(w\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ち、扇関数の値と一致します。
階段・金字塔関数 \(W(1, w)\)が返す値の例：
階段・金字塔数を返す、階段・金字塔関数 \(W(x, w)\) は、 \(x = 1\) かつ \(w\geqq 0\) 、\(w\) が整数の値の場合には、下記の値を返します。
\(W(1, 2) = A(1 \times 2) \times A(1, 10^2) = 11 \times 1 = 11 = A(2) \)
\(W(1, 3) = A(1 \times 3) \times A(1, 10^3) = 111 \times 1 = 111 = A(3) \)
\(W(1, 4) = A(1 \times 4) \times A(1, 10^4) = 1111 \times 1 = 1111 = A(4) \)
\(n\)進数の階段・金字塔関数 : \(W(x,w, n)\)
階段・金字塔数を\(10\)進数から\(n\)進数に拡張した場合：
階段・金字塔数を返す階段・金字塔関数 \(W(x, w, n)\)に対して、 \(x \geqq 0\) かつ \(w \geqq 0\)、\(n \geqq 2\)、\(x\)
および、 \(w\) 、\(n\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。
階段・金字塔数を返す階段・金字塔関数 \(W(x, w, n)\)に対して、 \(x \geqq 0\) かつ \(w = 1\)、\(n \geqq 2\)、\(x\) および
\(n\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ち、完成・金字塔関数の値と一致します。
階段・金字塔数を返す階段・金字塔関数 \(W(x, w, n)\)に対して、 \(x = 1\) かつ \(w \geqq 0\)、\(n \geqq 2\)、 \(w\) および
\(n\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ち、扇関数の値と一致します。
櫛関数 : \(C(x, s)\)
櫛関数\(C(x, s)\)が返す値の例：
櫛数を返す、櫛関数\(C(x, s)\)は、 \(x \gt 0\) かつ \(s \geqq 0\) 、\(x\) と \(s\) が整数の値の場合には、下記の値を返します。
\(s = 0\) の場合の例：
\(C(2, 0) = 11\)
\(C(3, 0) = 111\)
\(\vdots\)
\(C(x, 0) = \underbrace{111 \cdots 1}_{x}\)
\(s = 1\) の場合の例：
\(C(2, 1) = 101\)
\(C(3, 1) = 10101\)
\(\vdots\)
\(C(x, 1) = 101010 \cdots 101\)
\(s = 2\) の場合の例：
\(C(2, 2) = 1001\)
\(C(3, 2) = 1001001\)
\(\vdots\)
\(C(x, 2) = 100100100 \cdots 1001\)
\(s = 3\) の場合の例：
\(C(2, 3) = 10001\)
\(C(3, 3) = 100010001\)
\(\vdots\)
\(C(x, 3) = 100010001000 \cdots 10001\)
扇数を返す、扇関数\(C(x, s)\)は、 \(x \leqq 0\) かつ \(s \geqq 0\) 、\(x\) と \(s\) が整数の値の場合には、下記の値を返します。
\(C(-1, s) = 0\)
\(C(-2, s) = 0\)
\(C(-3, s) = 0\)
\(\vdots\)
\(C(x, s) = 0\)
櫛数を返す、櫛関数\(C(x, s)\)に対して、 \(x \gt 0\), \(s \geqq 0\) 、\(x\) および \(s\)
が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。
またこの式は、扇数を扇数で割り、割り切れる値の場合には、櫛数になる事と、櫛数が10の累乗進数の扇数であることを意味しています。
櫛関数\(C(x, s)\)が返す値の例：
櫛数を返す、櫛関数\(C(x, s)\)に対して、 \(x \gt 0\), \(s \geqq 0\) 、\(x\) および \(s\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。
\(x = 1\) かつ \(s \geqq 0\) 、\(x\) および \(s\) が整数の値の場合の例：
1) = A(1) \div A(1) = 1 \div 1 = A(1, 10^{0 + 1}) = 1 \)
\(C(1, 1)= \displaystyle \sum_{k = 0}^{1 -1} 10^{k \times (1 + 1)} = A(1 \times (1 + 1)) \div A(1 +
1) = A(2) \div A(2) = 11 \div 11 = A(1, 10^{1 + 1}) = 1 \)
\(C(1, 2)= \displaystyle \sum_{k = 0}^{1 -1} 10^{k \times (2 + 1)} = A(1 \times (2 + 1)) \div A(2 +
1) = A(3) \div A(3) = 111 \div 111 = A(1, 10^{2 + 1}) = 1 \)
\(C(1, 3)= \displaystyle \sum_{k = 0}^{1 -1} 10^{k \times (3 + 1)} = A(1 \times (3 + 1)) \div A(3 +
1) = A(4) \div A(4) = 1111 \div 1111 = A(1, 10^{3 + 1}) = 1 \)
\(x = 2\) かつ \(s \geqq 0\) 、\(x\) および \(s\) が整数の値の場合の例：
1) = A(1) \div A(1) = 11 \div 1 = A(2, 10^{0 + 1}) = 11 \)
\(C(2, 1)= \displaystyle \sum_{k = 0}^{2 -1} 10^{k \times (1 + 1)} = A(2 \times (1 + 1)) \div A(1 +
1) = A(4) \div A(2) = 1111 \div 11 = A(2, 10^{1 + 1}) = 101 \)
\(C(2, 2)= \displaystyle \sum_{k = 0}^{2 -1} 10^{k \times (2 + 1)} = A(2 \times (2 + 1)) \div A(2 +
1) = A(6) \div A(3) = 111111 \div 111 = A(2, 10^{2 + 1}) = 1001 \)
\(C(2, 3)= \displaystyle \sum_{k = 0}^{2 -1} 10^{k \times (3 + 1)} = A(2 \times (3 + 1)) \div A(3 +
1) = A(8) \div A(4) = 11111111 \div 1111 = A(2, 10^{3 + 1}) = 10001\)
\(x = 3\) かつ \(s \geqq 0\) 、\(x\) および \(s\) が整数の値の場合の例：
1) = A(3) \div A(1) = 111 \div 1 = A(3, 10^{0 + 1}) = 111 \)
\(C(3, 1)= \displaystyle \sum_{k = 0}^{3 -1} 10^{k \times (1 + 1)} = A(3 \times (1 + 1)) \div A(1 +
1) = A(6) \div A(2) = 111111 \div 11 = A(3, 10^{1 + 1}) = 10101 \)
\(C(3, 2)= \displaystyle \sum_{k = 0}^{3 -1} 10^{k \times (2 + 1)} = A(3 \times (2 + 1)) \div A(2 +
1) = A(9) \div A(3) = 111111111 \div 111 = A(3, 10^{2 + 1}) = 1001001 \)
\(C(3, 3)= \displaystyle \sum_{k = 0}^{3 -1} 10^{k \times (3 + 1)} = A(3 \times (3 + 1)) \div A(3 +
1) = A(12) \div A(4) = 11111111111 \div 1111 = A(3, 10^{3 + 1}) = 100010001 \)
上記の式に\(A(s + 1)\)を掛ける事で、下記の式が導出できます。
\( = A(x \times (s + 1)) = A(s + 1) \times A(x, 10^{s + 1})\)
更に、上記の導出した式を整理して、変形すると、下記の式となり、条件が揃うと扇数と櫛数を掛け合わせた値が、扇数になることを意味します。
\(= A(s + 1) \times A(x, 10^{s + 1})\)
\( = A(x \times (s + 1)) \)
\(x\)の値を1から3まで変化させた場合の例：
櫛数を返す、櫛関数\(C(x, s)\)に対して、 \(x \gt 0\), \(s \geqq 0\) 、\(x\) および \(s\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。
\(x = 1\) かつ \(s \geqq 0\) 、\(x\) および \(s\) が整数の値の場合の例：
+ 1)) \)
\(A(1 + 1) \times C(1, 1) = A(1 + 1) \times A(1, 10^{1 + 1}) = 11 \times 1 = 11 = A(1 \times
(1 + 1)) \)
\(A(2 + 1) \times C(1, 2) = A(2 + 1) \times A(1, 10^{2 + 1}) = 111 \times 1 = 111 = A(1
\times (2 + 1)) \)
\(A(3 + 1) \times C(1, 3) = A(3 + 1) \times A(1, 10^{3 + 1}) = 1111 \times 1 = 1111 = A(1
\times (3 + 1)) \)
\(x = 2\) かつ \(s \geqq 0\) 、\(x\) および \(s\) が整数の値の場合の例：
(0 + 1)) \)
\(A(1 + 1) \times C(2, 1) = A(1 + 1) \times A(2, 10^{1 + 1}) = 11 \times 101 = 1111 = A(2
\times (1 + 1)) \)
\(A(2 + 1) \times C(2, 2) = A(2 + 1) \times A(2, 10^{2 + 1}) = 111 \times 1001 = 111111= A(2
\times (2 + 1)) \)
\(A(3 + 1) \times C(2, 3) = A(3 + 1) \times A(2, 10^{3 + 1}) = 1111 \times 10001= 11111111=
A(2 \times (3 + 1)) \)
\(x = 3\) かつ \(s \geqq 0\) 、\(x\) および \(s\) が整数の値の場合の例：
(0 + 1)) \)
\(A(1 + 1) \times C(3, 1) = A(1 + 1) \times A(3, 10^{1 + 1}) = 11 \times 10101= 111111 = A(3
\times (1 + 1)) \)
\(A(2 + 1) \times C(3, 2) = A(2 + 1) \times A(3, 10^{2 + 1}) = 111 \times 1001001= 111111111
= A(3 \times (2 + 1)) \)
\(A(3 + 1) \times C(3, 3) = A(3 + 1) \times A(3, 10^{3 + 1}) = 1111 \times 100010001=
1111111111111 = A(3 \times (3 + 1)) \)
0以下の範囲の扱い
櫛数を返す、櫛関数\(C(x, s)\)に対して、 \(x \leqq 0\), \(s \geqq 0\) 、\(x\) および \(s\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。
櫛関数\(C(x, s)\)で\(x\)の値を0からマイナスまで変化させて場合の例：
櫛数を返す、櫛関数\(C(x, s)\)に対して、 \(x \leqq 0\), \(s \geqq 0\) 、\(x\) および \(s\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。
\(x \leqq 0\) かつ \(s \geqq 0\) 、\(x\) および \(s\) が整数の値の場合の例：
\(C(-1, s)= 0\)
\(C(-2, s)= 0\)
\(C(-3, s)= 0\)
\(\vdots \)
\(C(x, s)= 0\)
\(n\)進数の櫛関数 : \(C(x,s, n)\)
櫛関数を\(10\)進数から\(n\)進数に拡張した場合：
\(n\)進数の櫛数を返す、櫛関数 \(C(x, s, n)\) に対して、 \(x \gt 0\), \(s \geqq 0\), \(n \geqq 2\) 、\(x\) および \(s\)、\(n\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。
またこの式は、扇数を扇数で割り、割り切れる値の場合には、櫛数になる事と、櫛数がn進数の累乗進数の扇数であることを意味しています。
上記の式に \(A(s + 1, n)\) を掛ける事で、下記の式が導出できます。
0}^{x -1} n^{k \times (s + 1)}\)
\( = A(x \times (s + 1), n) = A(s + 1, n) \times A(x, n^{s + 1})\)
更に、上記の導出した式を整理して、変形すると、下記の式となり、条件が揃うと扇数と櫛数を掛け合わせた値が、扇数になることを意味します。
\(= A(s + 1, n) \times A(x, n^{s + 1})\)
\( = A(x \times (s + 1), n) \)
櫛数を返す、櫛関数\(C(x, s, n)\)に対して、 \(x \leqq 0\)かつ \(s \geqq 0\) 、\(n \geqq 2\) 、\(x\) および \(s\) 、 \(n\)
が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。