金字塔数について

金字塔数について

金字塔数の種類： 完成・金字塔数 / 可変頂上幅・金字塔数 / 可変踏板幅・金字塔数 / 扇数
金字塔数のPythonのコード : 完成・金字塔関数 / 可変頂上幅・金字塔関数 / 可変踏板幅・金字塔関数 / 扇関数

金字塔数とは？

1, 121, 12321, 1234321, 123454321 , .. , 12345678987654321という、扇数どうしを掛け合わせることで得られる数値をこのページやアンドールのYouTubeちゃんねるの中では金字塔数と呼ぶ事にしました。

扇数とは？

def A(x, base = 10):
   s = 0
   for k in range (0, x):
       s += base**k
   return s

def A(x, base = 10):
   return ((base**x)-1) // (base - 1)

扇数の関連動画

アンドールシステムサポートのYouTubeちゃんねるでは「扇数」を題材とし、組み込みの開発に役立つ解説を行っております。

扇関数を例に、再帰関数と組み込みにおけるスタック・メモリの影響について説明ます。

扇関数をC言語で実装した例と、Pythonで実装した例を通して、C言語に馴染んでいる方向けに、C言語の記述例とPythonの記述例を比較する形で、 Pythonの文法や特長の一部を紹介させて頂きます。

金字塔数を求める数式

段数を\( x\)、進数の底を\(base = n\)とする金字塔数を求める金字塔関数\(P(x, base = n)\)をPythonで記述すると下記の関数となります。

同じ進数の同じ桁数の扇数どうしの値を掛け合わせて得られる金字塔数は、n進数では、n-1桁の扇数の場合に、各桁の数値を高さと見なした場合、頂点の長さが1となり、完成(perfect)した金字塔の形に見えることがら、他の金字塔数と区別が必要な場合には完成・金字塔数と呼び、完成金字塔数を求める関数Pを完成・金字塔数と呼ぶ事にしました。

金字塔関数の特長

引数が\(x = 0\)の場合には、全ての進数で0となります。
\( P(0, base = n) = 0 \)

引数が\(x = 1\)の場合には、全ての進数で1となります。
\( P(1, base = n) = 1 \)

金字塔数を求めるPythonのコード

def P(x, base=10):
	return A(x, base) ** 2

扇関数A(x, base)のPythonのコードについてはこちらを参照してください。

補足：上記の関数では2番目の仮引数をbase = 10としてるので、2番目の仮引数を省略した場合、P(x) = P(x, 10)となります。

10進数で金字塔数関数が返す金字塔数の例

10進数の場合、引数の値が0～9までの範囲の場合と、10以上の場合とでは、現れるパターンが変化します。

金字塔数は、n進数の場合は、引数xがn-1の範囲までの値の場合と、それを超えた場合で、規則性が変化します。

• 未崩壊: 引数xがn-1の範囲までの値
• 崩壊: 引数xがnの値を答えた場合の値

未崩壊の範囲の場合

引数で与えられた桁数が中心となり、各桁に入る値も中央の桁が最大となります。
また、最上位の桁と最下位の桁は1となり、中央の桁に向かって値が1つづつ増加するという性質を持ちます。

崩壊の範囲の場合

n進数で、xがnの値を超えた場合であっても、未崩壊の場合と同じように、n進数の数値として観測される前の段階では、並んでいますが、 各桁の値で表現できる値はn進数の場合には、n-1までとなるため、nを超えた値は、上位の桁に向かって桁上りが生じます。
そのため、n進数として観測した際には、桁上りにより、上位の桁に向かって規則正しい連続性の崩壊が生じます。
この崩壊のパターンには規則性があるため、下記のようにPythonのコードで表すことができ、ここまで、説明させて頂いた、金字塔数を求めるコードが返す値と完全に一致します。

パターンに基づいた金字塔数を返すPythonのコード

def _get_tpv(base):
	tpv = 0
	for k in range(1, base-1):
		tpv = tpv * base +k
	if (2==base):
		tpv = 1
	else:
		tpv = (tpv+1) * base
	return tpv

def _get_cpv(r, base):
	cpv = 0
	if (r > 0):
		for k in range(1, r + 2):
			cpv = (cpv * base) + k
		for k in range(0,r-1):
			cpv = (cpv * base) + (r - k)
	return cpv

def _get_bpv(base):
	bpv = 0
	for k in range(1, base-1):
		bpv = (bpv * base) + (base -k)
	return bpv

def Pn(x, base = 10):
	if(0 == x):
		return 0
	tpl = base-1
	bpl = tpl
	tpv = _get_tpv(base)
	bpv = _get_bpv(base)
	q = ((x-1) // (base-1))
	r = ((x-1) %  (base-1))
	cpl = r *2
	if(2 == base):
		cpl = 1
	y = 0
	for k in range(0, q):
		y = y *(base **tpl) + tpv
	y = y * (base ** cpl) + _get_cpv(r, base)
	for k in range(0, q):
		y = y * (base **bpl) + bpv
	return (y*base + 1)

金字塔数のバリエーション

扇数を掛け合わせることで得られる金字塔数には複数の種類があります。

金字塔数の種類： 完成・金字塔数 / 可変頂上幅・金字塔数 / 可変踏板幅・金字塔数
金字塔数のPythonのコード : 完成・金字塔関数 / 可変頂上幅金字塔関数 / 可変踏板幅金字塔関数

完成・金字塔数と完成・金字塔関数

可変頂上幅・金字塔数と可変頂上幅・金字塔関数

def V(x, v=1, base=10):
	return A(x, base) * A(x+v-1, base)

可変踏板幅・金字塔数と可変踏板幅・金字塔関数

def W(x, w=1, base=10):
	return A(x*w, base) * A(x, base**w)