公式集

扇数を返す、扇関数\(A(x)\)に対して、 \(x \gt 0\) 、\(x\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。

\(A(x)=\displaystyle \sum_{k=0}^{x-1}10^{k}\) \(= \displaystyle \frac{10^x-1}{9}\)

扇関数\(A(x)\)が返す値の例：

扇数を返す、扇関数\(A(x)\)は、 \(x \gt 0\) 、\(x\) が整数の値の場合には、下記の値を返します。

\(A(1) = 1\)
\(A(2) = 11\)
\(A(3) = 111\)
\(\vdots\)
\(A(x) = \underbrace{111 \cdots 1}_{x}\)

扇数を返す、扇関数\(A(x)\)に対して、 \(x \leqq 0\) 、\(x\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。

\(A(x) = 0\)

扇関数\(A(x)\)が返す値の例：

扇数を返す、扇関数\(A(x)\)は、 \(x \leqq 0\) 、\(x\) が整数の値の場合にか、下記の値を返します。

\(A(0) = 0\)
\(A(-1) = 0\)
\(A(-2) = 0\)
\(A(-3) = 0\)
\(\vdots\)
\(A(x) = 0\)

1桁値が異なる扇数どうしの値の差分で得られる値

\(x \geqq 0\) 、\(x\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。

\(A(x) – A(x-1) = 10^{x – 1}\)

\(n\)進数の扇関数 : \(A(x, base = n)\)

扇関数を\(10\)進数から\(n\)進数に拡張した場合：

\(n\)進数の扇数を返す、扇関数 \(A(x, base =n)\)に対して、 \(x \gt 0\) かつ \(n \geqq 2\) 、\(x\) と \(n\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。

\(A(x, base = n)=\displaystyle \sum_{k=0}^{x-1}n^{k}\) \(= \displaystyle \frac{n^x-1}{n-1}\)

\(n\)進数の扇数を返す、扇関数\(A(x, base = n)\)に対して、 \(x \leqq 0\) かつ \(n \geqq 2\) 、\(x\) と \(n\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。

\(A(x, base = n) = 0 \)

1桁値が異なる扇数どうしの値の差分で得られる値

\(x \geqq 0\) かつ \(n \geqq 2\) 、\(x\) と \(n\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。

\(A(x, base = n) – A(x-1, base = n) = n^{x – 1}\)

図解 A(x) 櫛数について下降数について動画 / ウェビナー

櫛関数\(C(x, s)\)が返す値の例：

櫛数を返す、櫛関数\(C(x, s)\)は、 \(x \gt 0\) かつ \(s \geqq 0\) 、\(x\) と \(s\) が整数の値の場合には、下記の値を返します。

\(s = 0\) の場合の例：

\(C(1, 0) = 1\)
\(C(2, 0) = 11\)
\(C(3, 0) = 111\)
\(\vdots\)
\(C(x, 0) = \underbrace{111 \cdots 1}_{x}\)

\(s = 1\) の場合の例：

\(C(1, 1) = 1\)
\(C(2, 1) = 101\)
\(C(3, 1) = 10101\)
\(\vdots\)
\(C(x, 1) = 101010 \cdots 101\)

\(s = 2\) の場合の例：

\(C(1, 2) = 1\)
\(C(2, 2) = 1001\)
\(C(3, 2) = 1001001\)
\(\vdots\)
\(C(x, 2) = 100100100 \cdots 1001\)

\(s = 3\) の場合の例：

\(C(1, 3) = 1\)
\(C(2, 3) = 10001\)
\(C(3, 3) = 100010001\)
\(\vdots\)
\(C(x, 3) = 100010001000 \cdots 10001\)

扇数を返す、扇関数\(C(x, s)\)は、 \(x \leqq 0\) かつ \(s \geqq 0\) 、\(x\) と \(s\) が整数の値の場合には、下記の値を返します。

\(C(0, s) = 0\)
\(C(-1, s) = 0\)
\(C(-2, s) = 0\)
\(C(-3, s) = 0\)
\(\vdots\)
\(C(x, s) = 0\)

櫛数を返す、櫛関数\(C(x, s)\)に対して、 \(x \gt 0\), \(s \geqq 0\) 、\(x\) および \(s\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。
またこの式は、扇数を扇数で割り、割り切れる値の場合には、櫛数になる事と、櫛数が10の累乗進数の扇数であることを意味しています。

\(C(x, s)= \displaystyle \sum_{k = 0}^{x -1} 10^{k \times (s + 1)}\) \( = A(x \times (s + 1)) \div A(s + 1) = A(x, base = 10^{s + 1})\)

櫛関数\(C(x, s)\)が返す値の例：

櫛数を返す、櫛関数\(C(x, s)\)に対して、 \(x \gt 0\), \(s \geqq 0\) 、\(x\) および \(s\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。

\(x = 1\) かつ \(s \geqq 0\) 、\(x\) および \(s\) が整数の値の場合の例：

\(C(1, 0)= \displaystyle \sum_{k = 0}^{1 -1} 10^{k \times (0 + 1)} = A(1 \times (0 + 1)) \div A(0 + 1) = A(1) \div A(1) = 1 \div 1 = A(1, base = 10^{0 + 1}) = 1 \)
\(C(1, 1)= \displaystyle \sum_{k = 0}^{1 -1} 10^{k \times (1 + 1)} = A(1 \times (1 + 1)) \div A(1 + 1) = A(2) \div A(2) = 11 \div 11 = A(1, base = 10^{1 + 1}) = 1 \)
\(C(1, 2)= \displaystyle \sum_{k = 0}^{1 -1} 10^{k \times (2 + 1)} = A(1 \times (2 + 1)) \div A(2 + 1) = A(3) \div A(3) = 111 \div 111 = A(1, base = 10^{2 + 1}) = 1 \)
\(C(1, 3)= \displaystyle \sum_{k = 0}^{1 -1} 10^{k \times (3 + 1)} = A(1 \times (3 + 1)) \div A(3 + 1) = A(4) \div A(4) = 1111 \div 1111 = A(1, base = 10^{3 + 1}) = 1 \)

\(x = 2\) かつ \(s \geqq 0\) 、\(x\) および \(s\) が整数の値の場合の例：

\(C(2, 0)= \displaystyle \sum_{k = 0}^{2 -1} 10^{k \times (0 + 1)} = A(2 \times (0 + 1)) \div A(0 + 1) = A(1) \div A(1) = 11 \div 1 = A(2, base = 10^{0 + 1}) = 11 \)
\(C(2, 1)= \displaystyle \sum_{k = 0}^{2 -1} 10^{k \times (1 + 1)} = A(2 \times (1 + 1)) \div A(1 + 1) = A(4) \div A(2) = 1111 \div 11 = A(2, base = 10^{1 + 1}) = 101 \)
\(C(2, 2)= \displaystyle \sum_{k = 0}^{2 -1} 10^{k \times (2 + 1)} = A(2 \times (2 + 1)) \div A(2 + 1) = A(6) \div A(3) = 111111 \div 111 = A(2, base = 10^{2 + 1}) = 1001 \)
\(C(2, 3)= \displaystyle \sum_{k = 0}^{2 -1} 10^{k \times (3 + 1)} = A(2 \times (3 + 1)) \div A(3 + 1) = A(8) \div A(4) = 11111111 \div 1111 = A(2, base = 10^{3 + 1}) = 10001\)

\(x = 3\) かつ \(s \geqq 0\) 、\(x\) および \(s\) が整数の値の場合の例：

\(C(3, 0)= \displaystyle \sum_{k = 0}^{3 -1} 10^{k \times (0 + 1)} = A(3 \times (0 + 1)) \div A(0 + 1) = A(3) \div A(1) = 111 \div 1 = A(3, base = 10^{0 + 1}) = 111 \)
\(C(3, 1)= \displaystyle \sum_{k = 0}^{3 -1} 10^{k \times (1 + 1)} = A(3 \times (1 + 1)) \div A(1 + 1) = A(6) \div A(2) = 111111 \div 11 = A(3, base = 10^{1 + 1}) = 10101 \)
\(C(3, 2)= \displaystyle \sum_{k = 0}^{3 -1} 10^{k \times (2 + 1)} = A(3 \times (2 + 1)) \div A(2 + 1) = A(9) \div A(3) = 111111111 \div 111 = A(3, base = 10^{2 + 1}) = 1001001 \)
\(C(3, 3)= \displaystyle \sum_{k = 0}^{3 -1} 10^{k \times (3 + 1)} = A(3 \times (3 + 1)) \div A(3 + 1) = A(12) \div A(4) = 11111111111 \div 1111 = A(3, base = 10^{3 + 1}) = 100010001 \)

上記の式に\(A(s + 1)\)を掛ける事で、下記の式が導出できます。

\(A(s + 1) \times C(x, s)= A(s + 1) \times \displaystyle \sum_{k = 0}^{x -1} 10^{k \times (s + 1)}\) \( = A(x \times (s + 1)) = A(s + 1) \times A(x, base = 10^{s + 1})\)

更に、上記の導出した式を整理して、変形すると、下記の式となり、条件が揃うと扇数と櫛数を掛け合わせた値が、扇数になることを意味します。

\(A(s + 1) \times C(x, s) \) \(= A(s + 1) \times A(x, base = 10^{s + 1})\) \( = A(x \times (s + 1)) \)

例：

櫛数を返す、櫛関数\(C(x, s)\)に対して、 \(x \gt 0\), \(s \geqq 0\) 、\(x\) および \(s\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。

\(x = 1\) かつ \(s \geqq 0\) 、\(x\) および \(s\) が整数の値の場合の例：

\(A(0 + 1) \times C(1, 0) = A(0 + 1) \times A(1, base = 10^{0 + 1}) = 1 \times 1 = 1 = A(1 \times (0 + 1)) \)
\(A(1 + 1) \times C(1, 1) = A(1 + 1) \times A(1, base = 10^{1 + 1}) = 11 \times 1 = 11 = A(1 \times (1 + 1)) \)
\(A(2 + 1) \times C(1, 2) = A(2 + 1) \times A(1, base = 10^{2 + 1}) = 111 \times 1 = 111 = A(1 \times (2 + 1)) \)
\(A(3 + 1) \times C(1, 3) = A(3 + 1) \times A(1, base = 10^{3 + 1}) = 1111 \times 1 = 1111 = A(1 \times (3 + 1)) \)

\(x = 2\) かつ \(s \geqq 0\) 、\(x\) および \(s\) が整数の値の場合の例：

\(A(0 + 1) \times C(2, 0) = A(0 + 1) \times A(2, base = 10^{0 + 1}) = 1 \times 11 = 11 = A(2 \times (0 + 1)) \)
\(A(1 + 1) \times C(2, 1) = A(1 + 1) \times A(2, base = 10^{1 + 1}) = 11 \times 101 = 1111 = A(2 \times (1 + 1)) \)
\(A(2 + 1) \times C(2, 2) = A(2 + 1) \times A(2, base = 10^{2 + 1}) = 111 \times 1001 = 111111= A(2 \times (2 + 1)) \)
\(A(3 + 1) \times C(2, 3) = A(3 + 1) \times A(2, base = 10^{3 + 1}) = 1111 \times 10001= 11111111= A(2 \times (3 + 1)) \)

\(x = 3\) かつ \(s \geqq 0\) 、\(x\) および \(s\) が整数の値の場合の例：

\(A(0 + 1) \times C(3, 0) = A(0 + 1) \times A(3, base = 10^{0 + 1}) = 1 \times 111= 111= A(3 \times (0 + 1)) \)
\(A(1 + 1) \times C(3, 1) = A(1 + 1) \times A(3, base = 10^{1 + 1}) = 11 \times 10101= 111111 = A(3 \times (1 + 1)) \)
\(A(2 + 1) \times C(3, 2) = A(2 + 1) \times A(3, base = 10^{2 + 1}) = 111 \times 1001001= 111111111 = A(3 \times (2 + 1)) \)
\(A(3 + 1) \times C(3, 3) = A(3 + 1) \times A(3, base = 10^{3 + 1}) = 1111 \times 100010001= 1111111111111 = A(3 \times (3 + 1)) \)

櫛数を返す、櫛関数\(C(x, s)\)に対して、 \(x \leqq 0\), \(s \geqq 0\) 、\(x\) および \(s\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。

\(C(x, s) = 0 \)

櫛関数\(C(x, s)\)が返す値の例：

櫛数を返す、櫛関数\(C(x, s)\)に対して、 \(x \leqq 0\), \(s \geqq 0\) 、\(x\) および \(s\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。

\(x \leqq 0\) かつ \(s \geqq 0\) 、\(x\) および \(s\) が整数の値の場合の例：

\(C(0, s)= 0\)
\(C(-1, s)= 0\)
\(C(-2, s)= 0\)
\(C(-3, s)= 0\)
\(\vdots \)
\(C(x, s)= 0\)

\(n\)進数の櫛関数 : \(C(x,s, base = n)\)

櫛関数を\(10\)進数から\(n\)進数に拡張した場合：

\(n\)進数の櫛数を返す、櫛関数 \(C(x, s, base = n)\) に対して、 \(x \gt 0\), \(s \geqq 0\), \(n \geqq 2\) 、\(x\) および \(s\) 、\(n\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。
またこの式は、扇数を扇数で割り、割り切れる値の場合には、櫛数になる事と、櫛数がn進数の累乗進数の扇数であることを意味しています。

\(C(x, s, base = n)= \displaystyle \sum_{k = 0}^{x -1} n^{k \times (s + 1)}\) \( = A(x \times (s + 1), base =n) \div A(s + 1, base = n ) = A(x, base = n^{s + 1})\)

上記の式に \(A(s + 1, base = n)\) を掛ける事で、下記の式が導出できます。

\(A(s + 1, base = n) \times C(x, s, base = n) = A(s + 1, base = n) \times \displaystyle \sum_{k = 0}^{x -1} n^{k \times (s + 1)}\) \( = A(x \times (s + 1), base =n) = A(s + 1, base = n) \times A(x, base = n^{s + 1})\)

更に、上記の導出した式を整理して、変形すると、下記の式となり、条件が揃うと扇数と櫛数を掛け合わせた値が、扇数になることを意味します。

\(A(s + 1, base = n) \times C(x, s, base =a n) \) \(= A(s + 1, base = n) \times A(x, base = n^{s + 1})\) \( = A(x \times (s + 1), base = n) \)

櫛数を返す、櫛関数\(C(x, s, base = n)\)に対して、 \(x \leqq 0\)かつ \(s \geqq 0\) 、\(n \geqq 2\) 、\(x\) および \(s\) 、 \(n\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。

\(C(x, s, base = n) = 0 \)

図解 C(x,s) A(x) 下降数について動画 / ウェビナー

完成・金字塔数を返す、完成・金字塔関数 \(P(x)\) に対して、 \(x \geqq 0\)、 \(x\)が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。

\(P(x) = A(x)^2\)

完成・金字塔関数\(P(x)\)が返す値の例：

完成・金字塔数を返す、完成・金字塔関数 \(P(x)\) は、 \(x \geqq 0\) 、\(x\) が整数の値の場合には、下記の値を返します。

\(10\)進数では、\(x\)が\(0\)から\(9\)までの範囲では、各桁に含まれる値のどうしの連続性が維持されます。

\(P(0) =A(0)^2 = 0^2= 0\)
\(P(1) =A(1)^2 = 1^2= 1\)
\(P(2) =A(2)^2 = 11^2= 121\)
\(P(3) =A(3)^2 = 111^2= 12321\)
\(P(4) =A(4)^2 = 1111^2= 1234321\)
\(P(5) =A(5)^2 = 11111^2= 123454321\)
\(P(6) =A(6)^2 = 111111^2= 12345654321\)
\(P(7) =A(7)^2 = 1111111^2= 1234567654321\)
\(P(8) =A(8)^2 = 11111111^2= 123456787654321\)
\(P(9) =A(9)^2 = 111111111^2= 12345678987654321\)

\(10\)進数では、\(x\)が\(10\)以上の範囲では、各桁に含まれる値のどうしの連続性が崩壊しますが、周期的なパターンが存在します。

\(P(10) = A(10)^2 = 1111111111^2 = 1234567900987654321 \)
\(P(11) = A(11)^2 = 11111111111^2 = 123456790120987654321 \)
\(P(12) = A(12)^2 = 111111111111^2 = 12345679012320987654321 \)
\(P(13) = A(13)^2 = 1111111111111^2 = 1234567901234320987654321 \)
\(P(14) = A(14)^2 = 11111111111111^2 = 123456790123454320987654321 \)
\(P(15) = A(15)^2 = 111111111111111^2 = 12345679012345654320987654321 \)
\(P(16) = A(16)^2 = 1111111111111111^2 = 1234567901234567654320987654321 \)
\(P(17) = A(17)^2 = 11111111111111111^2 = 123456790123456787654320987654321 \)
\(P(18) = A(18)^2 = 111111111111111111^2 = 12345679012345678987654320987654321 \)
\(P(19) = A(19)^2 = 1111111111111111111^2 = 1234567901234567900987654320987654321 \)
\(P(20) = A(20)^2 = 11111111111111111111^2 = 123456790123456790120987654320987654321 \)
\(P(21) = A(21)^2 = 111111111111111111111^2 = 12345679012345679012320987654320987654321 \)
\(P(22) = A(22)^2 = 1111111111111111111111^2 = 1234567901234567901234320987654320987654321 \)
\(P(23) = A(23)^2 = 11111111111111111111111^2 = 123456790123456790123454320987654320987654321 \)
\(P(24) = A(24)^2 = 111111111111111111111111^2 = 12345679012345679012345654320987654320987654321 \)
\(P(25) = A(25)^2 = 1111111111111111111111111^2 = 1234567901234567901234567654320987654320987654321 \)
\(P(26) = A(26)^2 = 11111111111111111111111111^2 = 123456790123456790123456787654320987654320987654321 \)
\(P(27) = A(27)^2 = 111111111111111111111111111^2 = 12345679012345679012345678987654320987654320987654321 \)
\(P(28) = A(28)^2 = 1111111111111111111111111111^2 = 1234567901234567901234567900987654320987654320987654321 \)
\(P(29) = A(29)^2 = 11111111111111111111111111111^2 = 123456790123456790123456790120987654320987654320987654321 \)
\(P(30) = A(30)^2 = 111111111111111111111111111111^2 = 12345679012345679012345679012320987654320987654320987654321 \)

\(n\)進数の完成・金字塔関数 : \(P(x, base = n)\)

完成・金字塔数を\(10\)進数から\(n\)進数に拡張した場合：

\(n\)進数の完成・金字塔数を返す、完成・金字塔関数 \(P(x, base = n)\) に対して、 \(x \geqq 0\) かつ \(n \geqq 2\)、 \(x\)および\(n\)が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。

\(P(x, base = n) = A(x, base = n)^2\)

\(10\)進数では、\(x\)が\(1\)から\(9\)までの範囲で、各桁に含まれる値が連続的に変化したように、\(n\)進数では、\( x \lt n\)の範囲まで、連続性が保たれます。
櫛数を解説したページの中で説明しているように、複数の桁を束ねて1桁として観測する事で、\(n\)の累乗進数を\(n\)進数から観測する事ができるので、この考え方を利用する事で、連続性が保たれる桁数を、更に拡張する事ができます。

図解 P(x) A(x) 櫛数について下降数について動画 / ウェビナー

可変頂上幅・金字塔数を返す、可変頂上幅・金字塔関数 \(V(x, v)\) に対して、 \(x \geqq 0\) かつ \(v \geqq 0\)、\(x\) および、\(v\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。

\(V(x, v) = A(x) \times A(x+v-1)\)

可変頂上幅・金字塔関数 \(V(x, v)\)が返す値の例：

可変頂上幅・金字塔数を返す、可変頂上幅・金字塔関数 \(V(x, v)\) は、 \(x \geqq 0\) かつ \(v \geqq 0\) 、\(x\) および \(v\) が整数の値の場合には、下記の値を返します。

\(V(1,1) =A(1) \times A(1 + 1 -1) = 1 \times 1 = 1\)
\(V(1,2) =A(1) \times A(1 + 2 -1) = 1 \times 11 = 11\)
\(V(1,3) =A(1) \times A(1 + 3 -1) = 1 \times 111 = 111\)
\(V(1,4) =A(1) \times A(1 + 4 -1) = 1 \times 1111 = 1111\)

\(V(2,1) =A(2) \times A(2 + 1 -1) = 11 \times 11 = 121\)
\(V(2,2) =A(2) \times A(2 + 2 -1) = 11 \times 111 = 1221\)
\(V(2,3) =A(2) \times A(2 + 3 -1) = 11 \times 1111 = 12221\)
\(V(2,4) =A(2) \times A(2 + 4 -1) = 11 \times 11111 = 122221\)

\(V(3,1) =A(3) \times A(3 + 1 -1) = 111 \times 111 = 12321\)
\(V(3,2) =A(3) \times A(3 + 2 -1) = 111 \times 1111 = 123321\)
\(V(3,3) =A(3) \times A(3 + 3 -1) = 111 \times 11111 = 1233321\)
\(V(3,4) =A(3) \times A(3 + 4 -1) = 111 \times 111111 = 12333321\)

\(V(4,1) =A(4) \times A(4 + 1 -1) = 1111 \times 1111 = 1234321\)
\(V(4,2) =A(4) \times A(4 + 2 -1) = 1111 \times 11111 = 12344321\)
\(V(4,3) =A(4) \times A(4 + 3 -1) = 1111 \times 111111 = 123444321\)
\(V(4,4) =A(4) \times A(4 + 4 -1) = 1111 \times 1111111 = 1234444321\)

可変頂上幅・金字塔数を返す、可変頂上幅・金字塔関数 \(V(x, v)\) に対して、 \(x \geqq 0\) かつ \(v = 1\)、\(x\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ち、完成・金字塔関数の値と一致します。

\(V(x,1) = P(x)\)

可変頂上幅・金字塔関数 \(V(x, 1)\)が返す値の例：

可変頂上幅・金字塔数を返す、可変頂上幅・金字塔関数 \(V(x, v)\) は、 \(x \geqq 0\) かつ \(v = 1\) 、\(x\) が整数の値の場合には、下記の値を返します。

\(V(1,1) =A(1) \times A(1 + 1 -1) = 1 \times 1 = 1 = P(1) \)
\(V(2,1) =A(2) \times A(2 + 1 -1) = 11 \times 11 = 121 = P(2) \)
\(V(3,1) =A(3) \times A(3 + 1 -1) = 111 \times 111 = 12321 = P(3) \)
\(V(4,1) =A(4) \times A(4 + 1 -1) = 1111 \times 1111 = 1234321 =P(4) \)

可変頂上幅・金字塔数を返す、可変頂上幅・金字塔関数 \(V(x, v)\) に対して、 \(x = 1\) かつ \(v \geqq 0\)、\(v\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ち、扇関数の値と一致します。

\(V(1, v) = A(v)\)

可変頂上幅・金字塔関数 \(V(1, v)\)が返す値の例：

可変頂上幅・金字塔数を返す、可変頂上幅・金字塔関数 \(V(x, v)\) は、 \(x = 1\) かつ \(v \geqq 0\) 、\(v\) が整数の値の場合には、下記の値を返します。

\(V(1,1) =A(1) \times A(1 + 1 -1) = 1 \times 1 = 1 = A(1) \)
\(V(1,2) =A(1) \times A(1 + 2 -1) = 1 \times 11 = 11 = A(2) \)
\(V(1,3) =A(1) \times A(1 + 3 -1) = 1 \times 111 = 111 = A(3) \)
\(V(1,4) =A(1) \times A(1 + 4 -1) = 1 \times 1111 = 1111 = A(4) \)

\(n\)進数の可変頂上幅・金字塔数 : \(V(x,v, base = n)\)

可変頂上幅・金字塔数を\(10\)進数から\(n\)進数に拡張した場合：

可変頂上幅・金字塔数を返す、可変頂上幅・金字塔関数 \(V(x, v, n = base)\) に対して、 \(x \geqq 0\) かつ \(v \geqq 0\)、\(n \geqq 2\) の条件で、 \(x\) および、\(v\)、\(n\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。

\(V(x, v, base = n) = A(x, base = n) \times A(x+v-1, base = n)\)

可変頂上幅・金字塔数を返す、可変頂上幅・金字塔関数 \(V(x, v, n = base)\) に対して、 \(x \geqq 0\) かつ \(v = 1\)、\(n \geqq 2\) の条件で、 \(x\) および \(n\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ち、完成・金字塔関数の値と一致します。

\(V(x,1, base = n) = P(x, base = n)\)

可変頂上幅・金字塔数を返す、可変頂上幅・金字塔関数 \(V(x, v, n = base)\) に対して、 \(x = 0\) かつ \(v \geqq 0\)、\(n \geqq 2\) の条件で、 \(v\) および、\(n\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ち、扇関数の値と一致します。

\(V(1, v, base = n) = A(v, base = n)\)

V(x, v) P(x) A(x) 櫛数について下降数について動画 / ウェビナー

可変踏板幅・金字塔数を返す可変踏板幅・金字塔関数 \(W(x, w)\) に対して、 \(x \geqq 0\) かつ \(w \geqq 0\)、\(x\) および、 \(w\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。

\(W(x, w) = A(x \times w) \times A(x, 10^w)\)

可変踏板幅・金字塔関数 \(W(x, w)\)が返す値の例：

可変踏板幅・金字塔数を返す、可変踏板幅・金字塔関数 \(W(x, w)\) は、 \(x \geqq 0\) かつ \(w\geqq 0\) 、\(x\) および \(w\) が整数の値の場合には、下記の値を返します。

\(W(1, 1) = A(1 \times 1) \times A(1, 10^1) = 1 \times 1 = 1\)
\(W(1, 2) = A(1 \times 2) \times A(1, 10^2) = 11 \times 1 = 11\)
\(W(1, 3) = A(1 \times 3) \times A(1, 10^3) = 111 \times 1 = 111\)
\(W(1, 4) = A(1 \times 4) \times A(1, 10^4) = 1111 \times 1 = 1111\)

\(W(2, 1) = A(2 \times 1) \times A(2, 10^1) = 11 \times 11 = 121 \)
\(W(2, 2) = A(2 \times 2) \times A(2, 10^2) = 1111 \times 101= 112211 \)
\(W(2, 3) = A(2 \times 3) \times A(2, 10^3) = 111111 \times 1001= 111222111\)
\(W(2, 4) = A(2 \times 4) \times A(2, 10^4) = 11111111 \times 10001= 111122221111\)

\(W(3, 1) = A(3 \times 1) \times A(3, 10^1) = 111 \times 111 = 12321 \)
\(W(3, 2) = A(3 \times 2) \times A(3, 10^2) = 111111 \times 10101 = 1122332211 \)
\(W(3, 3) = A(3 \times 3) \times A(3, 10^3) = 111111111 \times 1001001 = 111222333222111 \)
\(W(3, 4) = A(3 \times 4) \times A(3, 10^4) = 111111111111 \times 100010001 = 11112222333322221111 \)

\(W(4, 1) = A(4 \times 1) \times A(4, 10^1) = 1111 \times 1111 = 1234321 \)
\(W(4, 2) = A(4 \times 2) \times A(4, 10^2) = 11111111 \times 1010101 = 11223344332211 \)
\(W(4, 3) = A(4 \times 3) \times A(4, 10^3) = 111111111111 \times 1001001001 = 111222333444333222111\)
\(W(4, 4) = A(4 \times 4) \times A(4, 10^4) = 1111111111111111 \times 1000100010001 = 1111222233334444333322221111\)

可変踏板幅・金字塔数を返す可変踏板幅・金字塔関数 \(W(x, w)\) に対して、 \(x \geqq 0\) かつ \(w = 1\)、\(x\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ち、完成・金字塔関数の値と一致します。

\(W(x,1) = P(x)\)

可変踏板幅・金字塔関数 \(W(x, 1)\)が返す値の例：

可変踏板幅・金字塔数を返す、可変踏板幅・金字塔関数 \(W(x, w)\) は、 \(x \geqq 0\) かつ \(w = 1\) 、\(x\) が整数の値の場合には、下記の値を返します。

\(W(1, 1) = A(1 \times 1) \times A(1, 10^1) = 1 \times 1 = 1 = P(1) \)
\(W(2, 1) = A(2 \times 1) \times A(2, 10^1) = 11 \times 11 = 121 = P(2) \)
\(W(3, 1) = A(3 \times 1) \times A(3, 10^1) = 111 \times 111 = 12321 = P(3) \)
\(W(4, 1) = A(4 \times 1) \times A(4, 10^1) = 1111 \times 1111 = 1234321 = P(4) \)

可変踏板幅・金字塔数を返す可変踏板幅・金字塔関数 \(W(x, w)\) に対して、 \(x = 1\) かつ \(w \geqq 0\)、 \(w\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ち、扇関数の値と一致します。

\(W(1, w) = A(w)\)

可変踏板幅・金字塔関数 \(W(1, w)\)が返す値の例：

可変踏板幅・金字塔数を返す、可変踏板幅・金字塔関数 \(W(x, w)\) は、 \(x = 1\) かつ \(w\geqq 0\) 、\(w\) が整数の値の場合には、下記の値を返します。

\(W(1, 1) = A(1 \times 1) \times A(1, 10^1) = 1 \times 1 = 1 = A(1) \)
\(W(1, 2) = A(1 \times 2) \times A(1, 10^2) = 11 \times 1 = 11 = A(2) \)
\(W(1, 3) = A(1 \times 3) \times A(1, 10^3) = 111 \times 1 = 111 = A(3) \)
\(W(1, 4) = A(1 \times 4) \times A(1, 10^4) = 1111 \times 1 = 1111 = A(4) \)

\(n\)進数の可変踏板幅・金字塔関数 : \(W(x,w, base = n)\)

可変踏板幅・金字塔数を\(10\)進数から\(n\)進数に拡張した場合：

可変踏板幅・金字塔数を返す可変踏板幅・金字塔関数 \(W(x, w, base = n)\)に対して、 \(x \geqq 0\) かつ \(w \geqq 0\)、\(n \geqq 2\)、\(x\) および、 \(w\) 、\(n\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。

\(W(x, w, base = n) = A(x \times w, n) \times A(x, n^w)\)

可変踏板幅・金字塔数を返す可変踏板幅・金字塔関数 \(W(x, w, base = n)\)に対して、 \(x \geqq 0\) かつ \(w = 1\)、\(n \geqq 2\)、\(x\) および \(n\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ち、完成・金字塔関数の値と一致します。

\(W(x,1, base = n) = P(x, base = n)\)

可変踏板幅・金字塔数を返す可変踏板幅・金字塔関数 \(W(x, w, base = n)\)に対して、 \(x = 1\) かつ \(w \geqq 0\)、\(n \geqq 2\)、 \(w\) および \(n\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ち、扇関数の値と一致します。

\(W(1, w, base = n) = A(w, base = n)\)

W(x, w) P(x) A(x) 櫛数について下降数について動画 / ウェビナー

扇階段数を返す、扇階段関数 \(S(x)\) に対して、\(x \gt 0\) 、\(x\) が整数の値の場合は、下記の式が成り立ちます。

\(S(x)=\displaystyle \sum_{k=1}^{x}A(k)\) \( = \displaystyle \frac{10 \times A(x) – x}{9}\) \(= \displaystyle \frac{10^{x + 1}-10-(x \times 9)}{81}\)

扇階段関数\(S(x)\)が返す値の例：

扇階段数を返す、扇階段関数\(S(x)\)は、 \(x \gt 0\) 、\(x\) が整数の値の場合には、下記の値を返します。

\(10\)進数では、\(x\)が\(1\)から\(9\)までの範囲で、各桁に含まれる数値が連続的に変化します。

\(S(1) = 1\)
\(S(2) = 12\)
\(S(3) = 123\)
\(S(4) = 1234\)
\(S(5) = 12345\)
\(S(6) = 123456\)
\(S(7) = 1234567\)
\(S(8) = 12345678\)
\(S(9) = 123456789\)

\(10\)進数では、\(x\)が\(10\)以降の範囲では、桁上りが生じる為、各桁に含まれる数値が連続性が崩壊しますが、周期性のあるパターンとなります。

\(S(10) = 1234567900\)
\(S(11) = 12345679011\)
\(S(12) = 123456790122\)
\(S(13) = 1234567901233\)
\(S(14) = 12345679012344\)
\(S(15) = 123456790123455\)
\(S(16) = 1234567901234566\)
\(S(17) = 12345679012345677\)
\(S(18) = 123456790123456788\)
\(S(19) = 1234567901234567899\)
\(S(20) = 12345679012345679010\)
\(S(21) = 123456790123456790121\)
\(S(22) = 1234567901234567901232\)
\(S(23) = 12345679012345679012343\)
\(S(24) = 123456790123456790123454\)
\(S(25) = 1234567901234567901234565\)
\(S(26) = 12345679012345679012345676\)
\(S(27) = 123456790123456790123456787\)
\(S(28) = 1234567901234567901234567898\)
\(S(29) = 12345679012345679012345679009\)
\(S(30) = 123456790123456790123456790120\)

扇階段数を返す、扇階段関数 \(S(x)\) に対して、\(x \leqq 0\) 、\(x\) が整数の値の場合に、戻り値は\(0\)とします。

\(S(x) = 0 \)

扇階段関数\(S(x)\)が返す値の例：

扇階段数を返す、扇階段関数\(S(x)\)は、 \(x \leqq 0\) 、\(x\) が整数の値の場合に、下記の値を返します。

\(S(0) = 0\)
\(S(-1) = 0\)
\(S(-2) = 0\)
\(S(-3) = 0\)
\(\vdots\)
\(S(x) = 0\)

1桁値が異なる扇階段数どうしの値の差分で得られる値

扇階段数を返す、扇階段関数 \(S(x)\) に対して、\(x \geqq 0\) 、\(x\)が整数の値の場合に、下記の式が成り立ち、その値は扇数となります。

\(S(x+1) – S(x) = A(x+1)\)

例：

\(S(0+1) – S(0) = 1-0 = 1 = A(0+1)\)
\(S(1+1) – S(1) = 12-1= 11 = A(1+1)\)
\(S(2+1) – S(2) = 123-12 = 111 = A(2+1)\)
\(S(3+1) – S(3) = 1234-123 = 1111 = A(3+1)\)
\(S(4+1) – S(4) = 12345-1234 = 11111 = A(4+1)\)
\(S(5+1) – S(5) = 123456-12345 = 111111= A(5+1)\)
\(S(6+1) – S(6) = 1234567-123456 = 1111111= A(6+1)\)
\(S(7+1) – S(7) = 12345678-1234567= 11111111=A(7+1)\)
\(S(8+1) – S(8) = 123456789-12345678= 111111111= A(8+1)\)

\(S(x) – S(x – 1) = A(x) \)

例：

\(S(0) – S(0-1) = 0-0= 0 = A(0)\)
\(S(1) – S(1-1) = 1-0 = 1 = A(1)\)
\(S(2) – S(2-1) = 12-1 = 11 = A(2)\)
\(S(3) – S(3-1) = 123-12 = 111 = A(3)\)
\(S(4) – S(4-1) = 1234-123 = 1111 = A(4)\)
\(S(5) – S(5-1) = 12345-1234 = 11111= A(5)\)
\(S(6) – S(6-1) = 123456-12345 = 111111= A(6)\)
\(S(7) – S(7-1) = 1234567-123456= 1111111=A(7)\)
\(S(8) – S(8-1) = 12345678-1234567= 11111111= A(8)\)
\(S(9) – S(9-1) = 123456789-12345678= 11111111= A(9)\)

桁数が異なる扇階段数どうしの値の差分で得られる値

\(x\) と \(d\) を整数とした場合、\(x \geqq d \geqq 0\) の条件で下記の式が成り立ちます。

\(S(x) – S(d) = S(x – d) \times 10^d + A(d) \times (x – d)\)

例：

\(S(0) – S(0) = 0 – 0 = S(0 – 0) \times 10^0 + A(0) \times (0 – 0) =0 \times 10^0 + 0\times 0 = 0 \)

\(S(1) – S(0) = 1 – 0 = S(1 – 0) \times 10^0 + A(0) \times (1 – 0) =1 \times 10^0 + 0\times 1 = 1 \)
\(S(1) – S(1) = 1 – 1 = S(1 – 1) \times 10^1 + A(1) \times (1 – 1) = 0 \times 10^1 + 1 \times 0 = 0 \)

\(S(2) – S(0) = 12 – 0 = S(2 – 0) \times 10^0 + A(0) \times (2 – 0) =12 \times 10^0 + 0\times 2 = 12 \)
\(S(2) – S(1) = 12 – 1 = S(2 – 1) \times 10^1 + A(1) \times (2 – 1) = 1 \times 10^1 + 1 \times 1 = 11 \)
\(S(2) – S(2) = 12 – 12 = S(2 – 2) \times 10^2 + A(2) \times (2 – 2) = 0 \times 10^2 + 11 \times 0 = 0 \)

\(S(3) – S(0) = 123 – 0 = S(3 – 0) \times 10^0 + A(0) \times (3 – 0) =123 \times 10^0 + 0\times 3 = 123 \)
\(S(3) – S(1) = 123 – 1 = S(3 – 1) \times 10^1 + A(1) \times (3 – 1) = 12 \times 10^1 + 1 \times 2 = 122 \)
\(S(3) – S(2) = 123 – 12 = S(3 – 2) \times 10^2 + A(2) \times (3 – 2) = 1 \times 10^2 + 11 \times 1 = 111 \)
\(S(3) – S(3) = 123 – 123 = S(3 – 3) \times 10^3 + A(3) \times (3 – 3) =0 \times 10^3 + 111 \times 0 = 0 \)

\(S(4) – S(0) = 1234 – 0 = S(4 – 0) \times 10^0 + A(0) \times (4 – 0) =1234 \times 10^0 + 0\times 4 = 1234 \)
\(S(4) – S(1) = 1234 – 1 = S(4 – 1) \times 10^1 + A(1) \times (4 – 1) = 123 \times 10^1 + 1 \times 3 = 1233 \)
\(S(4) – S(2) = 1234 – 12 = S(4 – 2) \times 10^2 + A(2) \times (4 – 2) = 12 \times 10^2 + 11 \times 2 = 1222 \)
\(S(4) – S(3) = 1234 – 123 = S(4 – 3) \times 10^3 + A(3) \times (4 – 3) = 1 \times 10^3 + 111 \times 1 = 1111 \)
\(S(4) – S(4) = 1234 – 1234 = S(4 – 4) \times 10^4 + A(4) \times (4 – 4) =0 \times 10^4 + 1111 \times 0 = 0 \)

\(S(5) – S(0) = 12345 – 0 = S(5 – 0) \times 10^0 + A(0) \times (5 – 0) =12345 \times 10^0 + 0\times 5 = 12345 \)
\(S(5) – S(1) = 12345 – 1 = S(5 – 1) \times 10^1 + A(1) \times (5 – 1) = 1234 \times 10^1 + 1 \times 4 = 12344 \)
\(S(5) – S(2) = 12345 – 12 = S(5 – 2) \times 10^2 + A(2) \times (5 – 2) = 123 \times 10^2 + 11 \times 3 = 12333 \)
\(S(5) – S(3) = 12345 – 123 = S(5 – 3) \times 10^3 + A(3) \times (5 – 3) = 12 \times 10^3 + 111 \times 2 = 12222 \)
\(S(5) – S(4) = 12345 – 1234 = S(5 – 4) \times 10^4 + A(4) \times (5 – 4) = 1 \times 10^4 + 1111 \times 1 = 11111 \)
\(S(5) – S(5) = 12345 – 12345 = S(5 – 5) \times 10^5 + A(5) \times (5 – 5)= 0 \times 10^5 + 11111 \times 0 = 0 \)

\(S(6) – S(0) = 123456 – 0 = S(6 – 0) \times 10^0 + A(0) \times (6 – 0) =123456 \times 10^0 + 0 \times 6 = 123456 \)
\(S(6) – S(1) = 123456 – 1 = S(6 – 1) \times 10^1 + A(1) \times (6 – 1) = 12345 \times 10^1 + 1 \times 5 = 123455 \)
\(S(6) – S(2) = 123456 – 12 = S(6 – 2) \times 10^2 + A(2) \times (6 – 2) = 1234 \times 10^2 + 11 \times 4 = 123444 \)
\(S(6) – S(3) = 123456 – 123 = S(6 – 3) \times 10^3 + A(3) \times (6 – 3) = 123 \times 10^3 + 111 \times 3 = 123333\)
\(S(6) – S(4) = 123456 – 1234 = S(6 – 4) \times 10^4 + A(4) \times (6 – 4) = 12 \times 10^4 + 1111 \times 2 = 122222 \)
\(S(6) – S(5) = 123456 – 12345 = S(6 – 5) \times 10^5 + A(5) \times (6 – 5) = 1 \times 10^5 + 11111 \times 1 = 111111 \)
\(S(6) – S(6) = 123456 – 123456 = S(6 – 6) \times 10^6 + A(6) \times (6 – 6) = 0 \times 10^6 + 111111 \times 0 = 0 \)

\(S(7) – S(0) = 1234567 – 0 = S(7 – 0) \times 10^0 + A(0) \times (7 – 0) =1234567 \times 10^0 + 0 \times 7= 1234567 \)
\(S(7) – S(1) = 1234567 – 1 = S(7 – 1) \times 10^1 + A(1) \times (7 – 1) = 123456 \times 10^1 + 1 \times 6 = 1234566 \)
\(S(7) – S(2) = 1234567 – 12 = S(7 – 2) \times 10^2 + A(2) \times (7 – 2) = 12345 \times 10^2 + 11 \times 5 = 1234555 \)
\(S(7) – S(3) = 1234567 – 123 = S(7 – 3) \times 10^3 + A(3) \times (7 – 3) = 1234 \times 10^3 + 111 \times 4 = 1234444 \)
\(S(7) – S(4) = 1234567 – 1234 = S(7 – 4) \times 10^4 + A(4) \times (7 – 4) = 123 \times 10^4 + 1111 \times 3 = 1233333 \)
\(S(7) – S(5) = 1234567 – 12345 = S(7 – 5) \times 10^5 + A(5) \times (7 – 5) = 12 \times 10^5 + 11111 \times 2 = 1222222 \)
\(S(7) – S(6) = 1234567 – 123456 = S(7 – 6) \times 10^6 + A(6) \times (7 – 6) = 1 \times 10^6 + 111111 \times 1 = 1111111 \)
\(S(7) – S(7) = 1234567 – 1234567 = S(7 – 7) \times 10^7 + A(7) \times (7 – 7)= 0 \times 10^7 + 1111111 \times 0 = 0 \)

\(S(8) – S(0) = 12345678 – 0 = S(8 – 0) \times 10^0 + A(0) \times (8 – 0) = 12345678 \times 10^0 + 0 \times 8= 12345678 \)
\(S(8) – S(1) = 12345678 – 1 = S(8 – 1) \times 10^1 + A(1) \times (8 – 1) = 1234567 \times 10^1 + 1 \times 7 = 12345677 \)
\(S(8) – S(2) = 12345678 – 12 = S(8 – 2) \times 10^2 + A(2) \times (8 – 2) = 123456 \times 10^2 + 11 \times 6 = 12345666 \)
\(S(8) – S(3) = 12345678 – 123 = S(8 – 3) \times 10^3 + A(3) \times (8 – 3) = 12345 \times 10^3 + 111 \times 5 = 12345555 \)
\(S(8) – S(4) = 12345678 – 1234 = S(8 – 4) \times 10^4 + A(4) \times (8 – 4) = 1234 \times 10^4 + 1111 \times 4 = 12344444 \)
\(S(8) – S(5) = 12345678 – 12345 = S(8 – 5) \times 10^5 + A(5) \times (8 – 5) = 123 \times 10^5 + 11111 \times 3 = 12333333 \)
\(S(8) – S(6) = 12345678 – 123456 = S(8 – 6) \times 10^6 + A(6) \times (8 – 6) = 12 \times 10^6 + 111111 \times 2 = 12222222 \)
\(S(8) – S(7) = 12345678 – 1234567 = S(8 – 7) \times 10^7 + A(7) \times (8 – 7) = 1 \times 10^7 + 1111111 \times 1 = 11111111 \)
\(S(8) – S(8) = 12345678 – 12345678 = S(8 – 8) \times 10^8 + A(8) \times (8 – 8) = 0 \times 10^8 + 11111111 \times 0 = 0 \)

\(S(9) – S(0) = 123456789 – 0 = S(9 – 0) \times 10^0 + A(0) \times (9 – 0) = 123456789 \times 10^0 + 0 \times 9 = 123456789\)
\(S(9) – S(1) = 123456789 – 1 = S(9 – 1) \times 10^1 + A(1) \times (9 – 1) = 12345678 \times 10^1 + 1 \times 8 = 123456788 \)
\(S(9) – S(2) = 123456789 – 12 = S(9 – 2) \times 10^2 + A(2) \times (9 – 2) = 1234567 \times 10^2 + 11 \times 7 = 123456777 \)
\(S(9) – S(3) = 123456789 – 123 = S(9 – 3) \times 10^3 + A(3) \times (9 – 3) = 123456 \times 10^3 + 111 \times 6 = 123456666 \)
\(S(9) – S(4) = 123456789 – 1234 = S(9 – 4) \times 10^4 + A(4) \times (9 – 4) = 12345 \times 10^4 + 1111 \times 5 = 123455555 \)
\(S(9) – S(5) = 123456789 – 12345 = S(9 – 5) \times 10^5 + A(5) \times (9 – 5) = 1234 \times 10^5 + 11111 \times 4 = 123444444 \)
\(S(9) – S(6) = 123456789 – 123456 = S(9 – 6) \times 10^6 + A(6) \times (9 – 6) = 123 \times 10^6 + 111111 \times 3 = 123333333 \)
\(S(9) – S(7) = 123456789 – 1234567 = S(9 – 7) \times 10^7 + A(7) \times (9 – 7) = 12 \times 10^7 + 1111111 \times 2 = 122222222 \)
\(S(9) – S(8) = 123456789 – 12345678 = S(9 – 8) \times 10^8 + A(8) \times (9 – 8) = 1 \times 10^8 + 11111111 \times 1 = 111111111 \)
\(S(9) – S(9) = 123456789 – 123456789 = S(9 – 9) \times 10^9 + A(9) \times (9 – 9) = 0 \times 10^9 + 111111111 \times 0 = 0 \)

扇階段数と金字塔数の関係

\(x \geqq 0\) の整数の場合に下記の式が成り立ちます。

\(S( (x \times 2) + 1) – 2 \times S(x) = A(x + 1)^2 = P(x + 1)\)

例：

\(S( (0 \times 2) + 1) – 2 \times S(0) = 1 – 2 \times 0 = A(0 + 1)^2 = P(0 + 1) = 1 \)
\(S( (1 \times 2) + 1) – 2 \times S(1) = 123 – 2 \times 1 = A(1 + 1)^2 = P(1 + 1) = 121 \)
\(S( (2 \times 2) + 1) – 2 \times S(2) = 12345 – 2 \times 12 = A(2 + 1)^2 = P(2 + 1) = 12321 \)
\(S( (3 \times 2) + 1) – 2 \times S(3) = 1234567 – 2 \times 123 = A(3 + 1)^2 = P(3 + 1) = 1234321 \)
\(S( (4 \times 2) + 1) – 2 \times S(4) = 123456789 – 2 \times 1234 = A(4 + 1)^2 = P(4 + 1) = 123454321 \)

\(n\)進数の扇階段数 : \(S(x, base = n)\)

扇階段数を\(10\)進数から\(n\)進数に拡張した場合：

扇階段数を返す、扇階段関数 \(S(x, base = n)\) に対して、\(x \gt 0\) かつ \(n \geqq 2\) 、\(x\) および \(n\) が整数の値の場合は、下記の式が成り立ちます。

\(S(x, base = n)=\displaystyle \sum_{k=1}^{x}A(k, n) = \displaystyle \frac{n \times A(x , n) – x}{n – 1}\) \(= \displaystyle \frac{n^{x + 1}-n-(x \times (n – 1))}{(n – 1)^2}\)

扇階段数を返す、扇階段関数 \(S(x)\) に対して、\(x \leqq 0\) 、\(x\) が整数の値の場合に、戻り値は\(0\)とします。

\(S(x , base = n) = 0 \)

\(10\)進数では、\(x\)が\(1\)から\(9\)までの範囲で、各桁に含まれる値が連続的に変化したように、\(n\)進数では、\( x \lt n\)の範囲まで、連続性が保たれます。
櫛数を解説したページの中で説明しているように、複数の桁を束ねて1桁として観測する事で、\(n\)の累乗進数を\(n\)進数から観測する事ができるので、この考え方を利用する事で、連続性が保たれる桁数を、更に拡張する事ができます。

1桁値が異なるn進数の扇階段数どうしの値の差分で得られる値

扇階段数を返す、扇階段関数 \(S(x, base = n)\) に対して、\(x \geqq 0\) かつ \(n \geqq 2\) 、\(x\) および \(n\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。

\(S(x+1, base = n) – S(x, base = n) = A(x+1, base = n)\)

扇階段数を返す、扇階段関数 \(S(x, base = n)\) に対して\(x \geqq 0\) かつ \(n \geqq 2\) 、\(x\) および \(n\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。

\(S(x, base = n) – S(x – 1, base = n) = A(x, base = n)\)

桁数が異なるn進数の扇階段数どうしの値の差分で得られる値

\(x\) と \(d\) 、\(n\)を整数とした場合、\(x \geqq d \geqq 0\) かつ \(n \geqq 2\) の条件で下記の式が成り立ちます。

\(S(x, base = n) – S(d, base = n) = S(x – d, base = n) \times n^d + A(d, base = n) \times (x – d)\)

n進数の扇階段数と金字塔数の関係

\(x \geqq 0\) かつ \(n \geqq 2\)、\(x\)と\(n\)が整数の場合に下記の式が成り立ちます。

\(S( (x \times 2) + 1, base = n) – 2 \times S(x, base = n) = A(x + 1, base = n)^2 = P(x + 1, base = n)\)

図解 S(x) A(x) P(x) 櫛数について下降数について動画 / ウェビナー

逆扇階段数を返す、逆扇階段関数 \(R(x)\) に対して、\(x \geqq 0\) 、\(x\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。

\(R(x) = (x + 1) \times A(x) – S(x) \)

逆扇階段関数\(R(x)\)が返す値の例：

逆扇階段数を返す、逆扇階段関数\(R(x)\)は、 \(x \geqq 0\) 、\(x\) が整数の値の場合には、下記の値を返します。

\(10\)進数では、\(x\)が\(1\) から \(9\) までの範囲の値の場合には、各桁に含まれる値の変化が連続的になります。

\(R(1) = (1 + 1) \times A(1) – S(1) = (1 + 1) \times 1 – 1 = 1\)
\(R(2) = (2 + 1) \times A(2) – S(2) = (2 + 1) \times 11 – 12 = 21\)
\(R(3) = (3 + 1) \times A(3) – S(3) = (3 + 1) \times 111 – 123 = 321\)
\(R(4) = (4 + 1) \times A(4) – S(4) = (4 + 1) \times 1111 – 1234 =4321\)
\(R(5) = (5 + 1) \times A(5) – S(5) = (5 + 1) \times 11111 – 12345 = 54321\)
\(R(6) = (6 + 1) \times A(6) – S(6) = (6 + 1) \times 111111 – 123456 = 654321\)
\(R(7) = (7 + 1) \times A(7) – S(7) = (7 + 1) \times 1111111 – 1234567 = 7654321\)
\(R(8) = (8 + 1) \times A(8) – S(8) = (8 + 1) \times 11111111 – 12345678 = 87654321\)
\(R(9) = (9 + 1) \times A(9) – S(9) = (9 + 1) \times 111111111 – 123456789 = 987654321\)

\(10\)進数では、\(x\)が\(10\) 以上の範囲の値の場合には、各桁に含まれる値の変化がの連続性が、桁上りにより、崩壊しますが、周期性のある、特殊な繰り返しパターンとなります。

\(R(10) = (10 + 1) \times A(10) -S(10) = (10 + 1) \times 1111111111 – 1234567900 = 10987654321\)
\(R(11) = (11 + 1) \times A(11) -S(11) = (11 + 1) \times 11111111111 – 12345679011 = 120987654321\)
\(R(12) = (12 + 1) \times A(12) -S(12) = (12 + 1) \times 111111111111 – 123456790122 = 1320987654321\)
\(R(13) = (13 + 1) \times A(13) -S(13) = (13 + 1) \times 1111111111111 – 1234567901233 = 14320987654321\)
\(R(14) = (14 + 1) \times A(14) -S(14) = (14 + 1) \times 11111111111111 – 12345679012344 = 154320987654321\)
\(R(15) = (15 + 1) \times A(15) -S(15) = (15 + 1) \times 111111111111111 – 123456790123455 = 1654320987654321\)
\(R(16) = (16 + 1) \times A(16) -S(16) = (16 + 1) \times 1111111111111111 – 1234567901234566 = 17654320987654321\)
\(R(17) = (17 + 1) \times A(17) -S(17) = (17 + 1) \times 11111111111111111 – 12345679012345677 = 187654320987654321\)
\(R(18) = (18 + 1) \times A(18) -S(18) = (18 + 1) \times 111111111111111111 – 123456790123456788 = 1987654320987654321\)
\(R(19) = (19 + 1) \times A(19) -S(19) = (19 + 1) \times 1111111111111111111 – 1234567901234567899 = 20987654320987654321\)
\(R(20) = (20 + 1) \times A(20) -S(20) = (20 + 1) \times 11111111111111111111 – 12345679012345679010 = 220987654320987654321\)
\(R(21) = (21 + 1) \times A(21) -S(21) = (21 + 1) \times 111111111111111111111 – 123456790123456790121 = 2320987654320987654321\)
\(R(22) = (22 + 1) \times A(22) -S(22) = (22 + 1) \times 1111111111111111111111 – 1234567901234567901232 = 24320987654320987654321\)
\(R(23) = (23 + 1) \times A(23) -S(23) = (23 + 1) \times 11111111111111111111111 – 12345679012345679012343 = 254320987654320987654321\)
\(R(24) = (24 + 1) \times A(24) -S(24) = (24 + 1) \times 111111111111111111111111 – 123456790123456790123454 = 2654320987654320987654321\)
\(R(25) = (25 + 1) \times A(25) -S(25) = (25 + 1) \times 1111111111111111111111111 – 1234567901234567901234565 = 27654320987654320987654321\)
\(R(26) = (26 + 1) \times A(26) -S(26) = (26 + 1) \times 11111111111111111111111111 – 12345679012345679012345676 = 287654320987654320987654321\)
\(R(27) = (27 + 1) \times A(27) -S(27) = (27 + 1) \times 111111111111111111111111111 – 123456790123456790123456787 = 2987654320987654320987654321\)
\(R(28) = (28 + 1) \times A(28) -S(28) = (28 + 1) \times 1111111111111111111111111111 – 1234567901234567901234567898 = 30987654320987654320987654321\)
\(R(29) = (29 + 1) \times A(29) -S(29) = (29 + 1) \times 11111111111111111111111111111 – 12345679012345679012345679009 = 320987654320987654320987654321\)
\(R(30) = (30 + 1) \times A(30) -S(30) = (30 + 1) \times 111111111111111111111111111111 – 123456790123456790123456790120 = 3320987654320987654320987654321\)

逆扇階段数を返す、逆扇階段関数\(R(x)\)は、 \(x \leqq 0\) 、\(x\) が整数の値の場合には、下記の値を返します。

\(R(x) =0\)

逆扇階段関数\(R(x)\)が返す値の例：

逆扇階段数を返す、逆扇階段関数\(R(x)\)は、 \(x \leqq 0\) 、\(x\) が整数の値の場合にか、下記の値を返します。

\(R(0) = 0\)
\(R(-1) = 0\)
\(R(-2) = 0\)
\(R(-3) = 0\)
\(\vdots\)
\(R(x) = 0\)

桁数が異なる扇階段数どうしの値の差分で得られる値

逆扇階段数を返す、逆扇階段関数 \(R(x)\) に対して、\(x \geqq 0\) 、\(x\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。

\(R(x + 1) – R(x) = (x + 1) \times 10 ^x\)

例：

\(R(0 + 1) – R(0) = 1 – 0 = 1 = (0 + 1) \times 10 ^0 = 1 \times 10^0 \)
\(R(1 + 1) – R(1) = 21 – 1 = 20 = (1 + 1) \times 10 ^1 = 2 \times 10^1 \)
\(R(2 + 1) – R(2) = 321 – 21 = 300 = (2 + 1) \times 10 ^2 = 3 \times 10^2 \)
\(R(3 + 1) – R(3) = 4321 – 321 = 4000 = (3 + 1) \times 10 ^3 = 4 \times 10^3 \)
\(R(4 + 1) – R(4) = 54321 – 4321 = 50000 = (4 + 1) \times 10 ^4 = 5 \times 10^4 \)
\(R(5 + 1) – R(5) = 654321 – 54321 = 600000 = (5 + 1) \times 10 ^5 = 6 \times 10^5 \)
\(R(6 + 1) – R(6) = 7654321 – 654321 = 7000000 = (6 + 1) \times 10 ^6 = 7 \times 10^6 \)
\(R(7 + 1) – R(7) = 87654321 – 7654321 = 80000000 = (7 + 1) \times 10 ^7 = 8 \times 10^7 \)
\(R(8 + 1) – R(8) = 987654321 – 87654321 = 900000000 = (8 + 1) \times 10 ^8 = 9 \times 10^8 \)

完成金字塔関数と階段関数に逆扇階段階段関数との関係

\(x \geqq 0\)、\(x\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。

\(P(x) = S(x-1) \times 10^x + R(x)\) \( = S(x) \times 10^{x-1} + R(x-1)\)

階段関数 \(S(x)\)の桁合わせを行い、逆扇階段関数 \(R(x)\) と足し合わせて得られる値は完成・金字塔関数 \(P(x)\)の返す値と一致します。

例：

\( P(0) = 0 = S(0-1) \times 10^0 + R(0) = 0 \times 10^0 + 0 = S(0) \times 10^{0-1} + R(0-1) = 0 \times 10^{-1} + 0 \)
\( P(1) = 1 = S(1-1) \times 10^1 + R(1) = 0 \times 10^1 + 1 = S(1) \times 10^{1-1} + R(1-1) = 1 \times 10^0 + 0 \)
\( P(2) = 121 = S(2-1) \times 10^2 + R(2) = 1 \times 10^2 + 21 = S(2) \times 10^{2-1} + R(2-1) = 12 \times 10^1 + 1 \)
\( P(3) = 12321 = S(3-1) \times 10^3 + R(3) = 12 \times 10^3 + 321 = S(3) \times 10^{3-1} + R(3-1) = 123 \times 10^2 + 21 \)
\( P(4) = 1234321 = S(4-1) \times 10^4 + R(4) = 123 \times 10^4 + 4321 = S(4) \times 10^{4-1} + R(4-1) = 1234 \times 10^3 + 321 \)
\( P(5) = 123454321 = S(5-1) \times 10^5 + R(5) = 1234 \times 10^5 + 54321 = S(5) \times 10^{5-1} + R(5-1) = 12345 \times 10^4 + 4321 \)
\( P(6) = 12345654321 = S(6-1) \times 10^6 + R(6) = 12345 \times 10^6 + 654321 = S(6) \times 10^{6-1} + R(6-1) = 123456 \times 10^5 + 54321 \)
\( P(7) = 1234567654321 = S(7-1) \times 10^7 + R(7) = 123456 \times 10^7 + 7654321 = S(7) \times 10^{7-1} + R(7-1)= 1234567 \times 10^6 + 654321 \)
\( P(8) = 123456787654321 = S(8-1) \times 10^8 + R(8) = 1234567 \times 10^8 + 87654321 = S(8) \times 10^{8-1} + R(8-1) = 12345678 \times 10^7 + 7654321 \)
\( P(9) = 12345678987654321 = S(9-1) \times 10^9 + R(9) = 12345678 \times 10^9 + 987654321 = S(9) \times 10^{9-1} + R(9-1) = 123456789 \times 10^8 + 87654321 \)

\(n\)進数の逆扇階段関数 : \(R(x, base = n)\)

逆扇階段数を\(10\)進数から\(n\)進数に拡張した場合：

逆扇階段数を返す、逆扇階段関数 \(R(x, base = n)\) に対して、\(x \gt 0\) かつ \(n \geqq 2\)、\(x\) および \(n\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。

\(R(x, base = n) = (x + 1) \times A(x, base = n) – S(x, base = n)\)

逆扇階段数を返す、逆扇階段関数\(R(x)\)は、 \(x \leqq 0\) かつ \(n \geqq 2 \) 、\(x\) かつ \(n\)が整数の値の場合には、下記の値を返します。

\(R(x, base = n) = 0 \)

\(10\)進数では、\(x\)が\(1\)から\(9\)までの範囲で、各桁に含まれる値が連続的に変化したように、\(n\)進数では、\( x \lt n\)の範囲まで、連続性が保たれます。
櫛数を解説したページの中で説明しているように、複数の桁を束ねて1桁として観測する事で、\(n\)の累乗進数を\(n\)進数から観測する事ができるので、この考え方を利用する事で、連続性が保たれる桁数を、更に拡張する事ができます。

桁数が異なる扇階段数どうしの値の差分で得られる値

逆扇階段数を返す、逆扇階段関数 \(R(x, base = n)\) に対して、\(x \geqq 0\) かつ \(n \geqq 2\)、\(x\) および \(n\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。

\(R(x + 1, base = n) – R(x, base = n) = (x + 1) \times n ^x\)

完成金字塔関数と階段関数に逆扇階段階段関数との関係

\(x \geqq 0\) かつ \(n \geqq 2\)、\(x\) および \(n\) が整数の値の場合に、下記の式が成り立ちます。

\(P(x, base = n) = S(x-1, base = n) \times n^x + R(x, base = n)\) \( = S(x, base = n) \times n^{x-1} + R(x-1, base = n)\)

階段関数 \(S(x, base = n)\)の桁合わせを行い、逆扇階段関数 \(R(x, base = n)\) と足し合わせて得られる値は完成・金字塔関数 \(P(x, base = n)\)の返す値と一致します。

図解 R(x) S(x) A(x) P(x) 櫛数について下降数について動画 / ウェビナー

降下数を返す関数の式については、こちらのページをご参照ください。
下降数について

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扇数体系の公式集

扇関数 : \(A(x)\)

1桁値が異なる扇数どうしの値の差分で得られる値

\(n\)進数の扇関数 : \(A(x, base = n)\)

1桁値が異なる扇数どうしの値の差分で得られる値

櫛関数 : \( C(x, s)\)

\(n\)進数の櫛関数 : \(C(x,s, base = n)\)

完成・金字塔関数 : \(P(x)\)

\(n\)進数の完成・金字塔関数 : \(P(x, base = n)\)

可変頂上幅・金字塔数 : \(V(x,v)\)

\(n\)進数の可変頂上幅・金字塔数 : \(V(x,v, base = n)\)

可変踏板幅・金字塔関数 : \(W(x,w)\)

\(n\)進数の可変踏板幅・金字塔関数 : \(W(x,w, base = n)\)

扇階段関数 : \(S(x)\)

1桁値が異なる扇階段数どうしの値の差分で得られる値

桁数が異なる扇階段数どうしの値の差分で得られる値

扇階段数と金字塔数の関係

\(n\)進数の扇階段数 : \(S(x, base = n)\)

1桁値が異なるn進数の扇階段数どうしの値の差分で得られる値

桁数が異なるn進数の扇階段数どうしの値の差分で得られる値

n進数の扇階段数と金字塔数の関係

逆扇階段関数 : \(R(x)\)

桁数が異なる扇階段数どうしの値の差分で得られる値

完成金字塔関数と階段関数に逆扇階段階段関数との関係

\(n\)進数の逆扇階段関数 : \(R(x, base = n)\)

桁数が異なる扇階段数どうしの値の差分で得られる値

完成金字塔関数と階段関数に逆扇階段階段関数との関係

降下数を返す関数

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